El método de Cramer es una técnica de álgebra lineal que permite resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el cálculo de determinantes. Funciona únicamente cuando el sistema tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante principal es distinto de cero.
Desarrollar en el estudiante la capacidad para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Cramer, utilizando de manera correcta los determinantes y procedimientos algebraicos para obtener los valores de las incógnitas, así como interpretar y verificar los resultados, fortaleciendo el razonamiento lógico, la resolución de problemas y el pensamiento matemático.
Antecedentes. Revisa en tus apuntes del curso de Matemáticas I y Matemáticas II lo siguiente:
Empecemos definiendo qué es un determinante. Un determinante es un número que se obtiene a partir de una matriz cuadrada y que proporciona información importante sobre ella. En el tema de sistemas de ecuaciones, el determinante permite saber, entre otras cosas, si un sistema tiene una solución única y es fundamental para aplicar el método de Cramer.
Δ = abcd = ad − bc
Cuando el determinante principal es cero decimos que el sistema no tiene solución o tiene un infinito de soluciones.
Procedimiento
Ejemplo resuelto
Paso 1. Observamos que en el sistema primero están las x's y después las y's.
Paso 2. Determinante principal:
Δ = 4−125 = 20 + 2 = 22
Paso 3. Para la incógnita x:
x = ΔxΔ = 5−1−15 22 = 25 − 122 = 2422 = 1211
Paso 4. Para la incógnita y:
y = ΔyΔ = 452−1 22 = −4 − 1022 = −1422 = −711
Por lo que la solución es: x = 1211 y y = −711.
Paso 5. Comprobación. Sustituimos los valores encontrados en ambas ecuaciones. Si en ambas nos queda la igualdad, hemos encontrado la solución del sistema.
4x − y = 5
4(1211) − (−711) = 5
4811 + 711 = 5
5511 = 5 ✓
2x + 5y = −1
2(1211) + 5(−711) = −1
2411 − 3511 = −1
−1111 = −1 ✓
Este método puede generalizarse para sistemas de ecuaciones de 3×3, 4×4, 5×5, etc.
Video recomendado
Para reforzar el procedimiento, puedes ver este video:
Evaluar el desarrollo de habilidades para representar, resolver e interpretar sistemas de ecuaciones lineales mediante el uso de determinantes, explicando y justificando cada parte del procedimiento.
Instrucciones. Resolver y comprobar, en hojas cuadriculadas, los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de Cramer.
Cada ejercicio tiene un botón “Ver respuesta” con los determinantes y el resultado. Resuélvelo primero en tu cuaderno y después revisa.
Δ = −7 Δx = −49 Δy = −14
Solución única:
x = ΔxΔ = −49−7 = 7
y = ΔyΔ = −14−7 = 2
Δ = 0: no se puede aplicar Cramer.
Infinitas soluciones: una ecuación es múltiplo de la otra (es la misma recta).
Δ = 0: no se puede aplicar Cramer.
No tiene solución: las rectas son paralelas (los lados izquierdos son proporcionales, pero los derechos no).
Δ = 4 Δx = −6 Δy = 2
Solución única:
x = ΔxΔ = −64 = −32
y = ΔyΔ = 24 = 12
Δ = 2 Δx = 4 Δy = 2
Solución única:
x = ΔxΔ = 42 = 2
y = ΔyΔ = 22 = 1
Δ = 0: no se puede aplicar Cramer.
Infinitas soluciones: una ecuación es múltiplo de la otra (es la misma recta).
Δ = 7 Δx = 14 Δy = −7
Solución única:
x = ΔxΔ = 147 = 2
y = ΔyΔ = −77 = −1
Δ = 8 Δx = 50 Δy = 6
Solución única:
x = ΔxΔ = 508 = 254
y = ΔyΔ = 68 = 34
Δ = 2 Δx = −4 Δy = −8
Solución única:
x = ΔxΔ = −42 = −2
y = ΔyΔ = −82 = −4
Δ = 5 Δx = −10 Δy = 15
Solución única:
x = ΔxΔ = −105 = −2
y = ΔyΔ = 155 = 3
Instrucciones. Resolver y comprobar, en hojas cuadriculadas, los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de Cramer.
Método de Cramer — Rúbrica
| Criterio | Nivel 1Insuficiente | Nivel 2En desarrollo | Nivel 3En desarrollo · mínimo indispensable | Nivel 4Suficiente | Nivel 5Satisfactorio |
|---|---|---|---|---|---|
| ComunicaciónExpresión escrita y oralTransmite sus ideas utilizando vocabulario matemático y con una variedad de representaciones (escrito, oral, visual, electrónico, etc.). Qué observar:
|
Escribe los determinantes sin barras ni nombres, o mezcla las columnas, y no se entiende cómo obtuvo x y y. | Escribe los determinantes y sus operaciones con la simbología básica, aunque omite nombres o pasos. Repite el procedimiento de manera mecánica. | Escribe el sistema, los determinantes y los resultados con la simbología correcta (Δ, Δx, Δy, y x como Δx dividido entre Δ), con alguna deficiencia. Su procedimiento se sigue sin dificultad. | Escribe cada determinante, su cálculo y la conclusión con notación correcta, y explica por qué se usa cada uno y de dónde sale cada valor. | |
| Representación algebraicaDistingue, decodifica, selecciona e intercambia entre diferentes representaciones de objetos matemáticos. Qué observar:
|
Conoce los determinantes, pero los acomoda de forma mecánica: coloca mal los coeficientes o los signos. | Organiza el sistema en forma de determinantes (coeficientes de x y de y, y columna de términos independientes) con uso correcto de las expresiones; tiene errores ocasionales de signo. | Comprende y maneja las propiedades: arma Δ, Δx y Δy correctamente y explica qué columna se reemplaza por los términos independientes. | Da significado y generaliza: explica por qué se sustituye cada columna y generaliza el método para cualquier sistema 2×2. | |
| Modelación y resolución de problemasFormulación del problema y sistematización · Matematización y análisis del sistema matemático · Interpretación, evaluación y validación. Qué observar:
|
Aplica las fórmulas sin saber qué calcula cada determinante; confunde Δx con Δy o x con y. | Identifica Δ, Δx y Δy y usa el método para obtener x y y en los casos con Δ distinto de 0. Se equivoca con los signos al calcular determinantes y no revisa. | Calcula correctamente los tres determinantes, obtiene x y y, identifica los casos con Δ = 0 (sin solución o infinitas soluciones) y revisa el resultado sustituyendo en ambas ecuaciones. | ||
| ArgumentaciónPensamiento y razonamiento matemáticoSeguir y elaborar cadenas de argumentos. Qué observar:
|
Dice «me dio x = …» sin explicar. Reconoce intuitivamente que hay un procedimiento, pero no lo defiende. | Defiende que la solución es correcta porque «el método da ese valor», con lenguaje matemático básico, sin explicar por qué el método sirve. | Valida con ejemplos: sustituye x y y en las dos ecuaciones. Distingue ejemplos con Δ distinto de 0 de ejemplos con Δ = 0. | Explica la estructura del argumento: el sistema es la hipótesis, la solución es la conclusión y la comprobación la valida. Justifica qué pasa cuando Δ = 0 (el sistema no tiene solución o tiene infinitas) y distingue la conjetura de la conclusión. | Elabora una cadena de argumentos que generaliza el método a cualquier sistema 2×2 y explica por qué funciona (relaciona Δ con la posición de las rectas), no sólo que funciona. |
Nivel 0 · No hay elementos: no existen evidencias suficientes para evaluar (no se presentó o asistió a menos del 20% del curso).