Matemáticas 3 · Tema 3 de 10

Valor absoluto

Objetivo general

Que el estudiante comprenda el valor absoluto como la distancia de un número al cero en la recta numérica, lo represente gráfica y simbólicamente, y utilice sus propiedades para resolver desigualdades que involucran este concepto.

Definición

El valor absoluto de un número es la distancia que existe entre ese número y el cero en la recta numérica. Es decir,

|x| = { 0   si x = 0
x   si x > 0
−x  si x < 0

Por ejemplo, |5| = 5 y |−5| = 5: tanto 5 como −5 están a 5 unidades del cero. Por eso el valor absoluto nunca es negativo.

Ejercicio en clase

Instrucciones. Determine los valores de x para las siguientes ecuaciones.

1|x| = 5
2|x| = 8
3|x| = −2
4|x| = 7
5|x| = 12
6|x + 3| = −1
7|2x − 1| = 0
8|3x − 2| = −3
9|5x + 9| = 34
10|2x − 1| = 53

Gráfica del valor absoluto

x y −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −2 −1 1 2 3 4 5 y = |x|
La gráfica de y = |x| tiene forma de “V”: es simétrica respecto al eje y y nunca baja del eje x.

Desigualdades con valor absoluto

Para resolver desigualdades que involucran el valor absoluto debes seguir los siguientes pasos:

  1. Trazar la recta que viene dentro del símbolo de valor absoluto. Aquí es importante cuidar la escala, que será el valor del número que acompaña a la x, o el mcm de todos los denominadores de las fracciones, multiplicado por el número que acompaña a la x.
  2. Aplicar el valor absoluto. Es decir, la parte de la gráfica que es negativa volverla positiva, cuidando que al hacer esto la gráfica quede simétrica.
  3. Trazar una recta horizontal que corresponde al valor para el que queremos se cumpla la desigualdad.
  4. Decidir si queremos la parte de arriba o la de abajo de la horizontal.
  5. Escribir la solución.

Ejemplo 1

Resolver la siguiente desigualdad

|3x − 2| < 4

Escala: 1 unidad = 3 cuadros (porque el número que acompaña a la x es 3).

Trazamos la recta y = 3x − 2 (línea punteada), volvemos positiva la parte que queda debajo del eje x (línea gruesa en forma de “V”) y trazamos la horizontal y = 4. Como buscamos < 4, nos quedamos con la parte de la “V” que está debajo de la horizontal.

x y −2 −1 1 2 3 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 y = 4 −2/3 2
Escala: 1 unidad = 3 cuadros. En rojo, la parte de la “V” que queda debajo de y = 4 y, sobre el eje x, el intervalo solución. Los círculos vacíos indican que −2/3 y 2 no forman parte de la solución (<).

Por lo que la solución es el intervalo:

(−23, 2)
Ver cómo se hizo en el cuaderno Gráfica de |3x − 2| < 4 hecha a mano en hoja cuadriculada

Video con voz: solución del Ejemplo 1, paso por paso.

Ejemplo 2

Resolver la siguiente desigualdad

|4x + 3| ≥ 2

Escala: 1 unidad = 4 cuadros (porque el número que acompaña a la x es 4).

Trazamos la recta y = 4x + 3, volvemos positiva la parte negativa y trazamos la horizontal y = 2. Como buscamos ≥ 2, nos quedamos con las partes de la “V” que están arriba de la horizontal.

x y −3 −2 −1 1 2 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 y = 2 −5/4 −1/4
Escala: 1 unidad = 4 cuadros. En rojo, las partes de la “V” que quedan arriba de y = 2 y, sobre el eje x, los intervalos solución. Los círculos rellenos indican que −5/4 y −1/4 sí forman parte de la solución (≥).

La solución es:

(−∞, −54] ∪ [−14, ∞)
Ver cómo se hizo en el cuaderno Gráfica de |4x + 3| ≥ 2 hecha a mano en hoja cuadriculada

Video con voz: solución del Ejemplo 2, paso por paso.

Observación

Si la desigualdad es < o ≤, la solución es la parte de la “V” que queda debajo de la horizontal (un solo intervalo). Si es > o ≥, es la parte de arriba (dos intervalos unidos con ∪).

Materiales y tareas

Materiales

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Tarea

Próximamente: tareas y fechas de entrega.