Que el estudiante conozca la función cuadrática más sencilla, f(x) = x²: que sepa evaluarla, hacer su tabla de valores, trazar su gráfica (una parábola) e identificar sus características principales.
Definición
Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado cuya expresión algebraica es
Donde a, b, c son números reales y a ≠ 0.
Elementos principales
La función f(x) = x²
Pero empecemos de a poco. La forma más sencilla de una función cuadrática es:
Su regla de correspondencia dice: “a cada número x le corresponde su cuadrado”, es decir, el número multiplicado por sí mismo.
Cuando x es negativo, se escribe entre paréntesis: (−3)² = 9, porque “menos por menos da más”. El cuadrado de cualquier número nunca es negativo.
La gráfica: una parábola
Su gráfica se ve así. Si colocamos en el plano cartesiano los puntos (−3, 9), (−2, 4), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4) y (3, 9) y los unimos con una línea curva suave (¡no con líneas rectas!), obtenemos la gráfica de f(x) = x². Esta curva se llama parábola.
Características de f(x) = x²
f(x) = x² es la parábola básica. En los siguientes subtemas veremos cómo se mueve, se estira o se voltea cuando le agregamos números: ax², ax² + b, (x − h)², etc. Por eso es importante conocerla muy bien.
Actividad 1 · Evaluar la función
Si f(x) = x², calcula en tu cuaderno lo siguiente. Resuelve primero y después revisa con el botón “Ver respuesta”.
f(5) = (5)² = 5 · 5 = 25
f(−5) = (−5)² = (−5)(−5) = 25
f(10) = (10)² = 100
f(12) = (12)² = 12 · 12 = 14
f(−1.5) = (−1.5)² = (−1.5)(−1.5) = 2.25
f(0.1) = (0.1)² = 0.01
Actividad 2 · ¿El punto está en la parábola?
Determina si cada punto pertenece a la gráfica de f(x) = x². Pista: eleva al cuadrado el valor de x y compara el resultado con el valor de y.
Sí pertenece, porque f(4) = 4² = 16.
Sí pertenece, porque f(−3) = (−3)² = 9.
No pertenece, porque f(3) = 3² = 9, no −9. Además, x² nunca da un resultado negativo.
No pertenece, porque f(−2) = (−2)² = 4, no −4.
Sí pertenece, porque f(13) = (13)² = 19.
No pertenece, porque f(6) = 6² = 36, no 12. (¡Cuidado! x² no es lo mismo que 2x.)
Actividad 3 · De regreso: ¿qué x da ese resultado?
Encuentra todos los valores de x que cumplen cada igualdad. Recuerda que la parábola es simétrica.
x = 4 o x = −4, porque 4² = 16 y (−4)² = 16.
x = 7 o x = −7.
Sólo x = 0. Es el único valor que da 0: corresponde al vértice.
No hay ningún valor de x: el cuadrado de un número nunca es negativo.
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