Conocimiento previo
El algoritmo de Euclides es otra forma de calcular el MCD, sin descomponer en primos. Si necesitas repasar qué es el MCD, está en mcm y MCD.
La idea
Con números grandes, como 252 y 105, descomponerlos en primos lleva tiempo. Hace más de 2 000 años, Euclides encontró un camino más corto, basado en una observación:
El MCD de dos números es el mismo que el MCD del número menor y el residuo de dividirlos.
Es decir, MCD(252, 105) = MCD(105, 42), porque 252 ÷ 105 da cociente 2 y residuo 42. Y así los números se hacen cada vez más pequeños, hasta que el residuo es 0.
Ejercicios: algoritmo de Euclides
Aplica el algoritmo de Euclides a cada pareja de números:
1. Completa cada división con su cociente y su residuo. (Los números de cada fila ya están puestos, para que sigas el camino correcto.)
2. Escribe el MCD (el último divisor, cuando el residuo es 0).
Después oprime Comprobar (o la tecla Enter). Te tocan 10 ejercicios al azar de un banco de 100, con menos pasos y números más pequeños primero. Oprime Otros 10 ejercicios para volver a intentar con ejercicios diferentes.
Ejercicios: algoritmo de Euclides sin pistas
Ahora sólo te damos la primera división. Las demás casillas están en blanco: tú decides qué números se dividen en cada paso.
1. En cada fila completa el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo (dividendo = divisor · cociente + residuo).
Recuerda: el divisor de una fila pasa a ser el dividendo de la siguiente, y el residuo pasa a ser el nuevo divisor.
2. Escribe el MCD (el último divisor, cuando el residuo es 0).
Te tocan 10 ejercicios al azar de un banco de 100 parejas distintas a las de la serie anterior. Oprime Otros 10 ejercicios para volver a intentar con ejercicios diferentes.
Rúbrica · Algoritmo de Euclides
| Criterio | Nivel 1Insuficiente | Nivel 2En desarrollo | Nivel 3En desarrollo · mínimo indispensable | Nivel 4Suficiente | Nivel 5Satisfactorio |
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| ComunicaciónExpresión escrita y oralTransmite sus ideas utilizando vocabulario matemático y con una variedad de representaciones (escrito, oral, visual, electrónico, etc.). Qué observar:
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Escribe las divisiones sin orden o con la forma incorrecta y no se entiende su procedimiento. No usa ningún apoyo, como escribir cada división con su cociente y su residuo. | Escribe las divisiones pero omite alguna o no usa la forma a = b · q + r; repite el procedimiento de memoria y casi no lo explica. | Escribe correctamente todas las divisiones, señala el MCD y explica con claridad qué hizo; puede tener alguna omisión menor. | Escribe y explica con notación correcta todo el algoritmo (divisiones y MCD), por diferentes medios (con las divisiones y con la descomposición en primos), y reconstruye el procedimiento en una pareja nueva. | |
| Representación aritméticaDistingue, decodifica, selecciona e intercambia entre diferentes representaciones de objetos matemáticos. Qué observar:
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Conoce los pasos sólo de memoria y los usa de forma mecánica, sin relacionarlos con el MCD por primos. | Comprende y describe el algoritmo y lo usa en casos sencillos (2 ó 3 divisiones). Se confunde con más pasos. | Usa dos formas de obtener el MCD (algoritmo y primos) y las compara. | Combina varias representaciones (divisiones y primos) y elige la más adecuada según el tamaño de los números, justificando su elección. | |
| Modelación y resolución de problemasFormulación del problema y sistematización · Matematización y análisis del sistema matemático · Interpretación, evaluación y validación. Qué observar:
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No sigue el procedimiento (se detiene o cambia números sin criterio) y no revisa. | Sigue el procedimiento en casos de 2 ó 3 divisiones, pero se pierde con más pasos o con residuos grandes, y no comprueba sus resultados. | Sigue el algoritmo completo en cualquier caso (hasta 6 divisiones), obtiene el MCD correcto y lo comprueba con otro método (la descomposición en primos). Detecta y corrige sus errores. | ||
| ArgumentaciónPensamiento y razonamiento matemáticoSeguir y elaborar cadenas de argumentos. Qué observar:
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Defiende su resultado con «así es el método» o «así me salió». | Explica con sus palabras («cada vez los números son más chicos») por qué el procedimiento termina, con pocos términos matemáticos. | Valida con ejemplos: calcula el MCD de varias parejas con el algoritmo y con primos y compara los resultados. | Explica la estructura del argumento: un divisor común de a y b también divide al residuo, por eso MCD(a, b) = MCD(b, r); y por eso el último divisor es el MCD. | Construye una cadena de argumentos que generaliza: demuestra que MCD(a, b) = MCD(b, r) para cualquier a y b, y que el algoritmo termina porque los residuos disminuyen, distinguiendo convencerse con ejemplos de demostrar. |
Nivel 0 · No hay elementos: no existen evidencias suficientes para evaluar (no se presentó o asistió a menos del 20% del curso).