Matemáticas 1 · Tema 6 · Divisibilidad

mcm y MCD

Conocimiento previo

Repaso

Para calcular el MCD y el mcm hay que reconocer los números primos, descomponer un número en primos y saber cuáles son múltiplos y divisores de un número.

Primos y descomposición en primos → Múltiplos y divisores →

mcm: mínimo común múltiplo

Es el número más pequeño (distinto de cero) que es múltiplo de todos los números a la vez. Por ejemplo, el mcm de 12 y 18 es 36.

★ mcm ★
Paso 1
tabla
escribe los números en fila y una barra a la derecha
Paso 2
dividir
entre el primo más pequeño que divida a alguno; los demás se bajan igual
Paso 3
multiplicar
cuando todos sean 1, los primos de la derecha son el mcm
Ejemplo · mcm(10, 15, 18)

MCD: máximo común divisor

Es el número más grande que divide a todos los números a la vez. Por ejemplo, el MCD de 12 y 18 es 6.

★ MCD ★
Paso 1
tabla
escribe los números en fila y una barra a la derecha
Paso 2
dividir
entre el primo más pequeño que divida a alguno, hasta llegar a 1; marca de azul los primos que dividen a todos
Paso 3
multiplicar
multiplica sólo los primos azules: ése es el MCD
Ejemplo · MCD(24, 36, 60)
Los primos en azul (2, 2 y 3) dividieron a 24, 36 y 60 a la vez; los demás sólo dividieron a algunos de ellos.

¿Para qué sirven?

Los verás en acción en Operaciones con fracciones (Matemáticas 2).

Ejercicios: mcm y MCD con números primos

Instrucciones

Para cada grupo de números, usa la tabla de descomposición (en tu cuaderno) y escribe:

1. El mcm: se divide hasta que todos sean 1 y se multiplican todos los primos de la derecha.
2. El MCD: con la misma tabla, sólo se multiplican los primos que dividen a todos los números a la vez. Al comprobar verás las dos tablas.

Después oprime Comprobar (o la tecla Enter). Te tocan 10 ejercicios al azar de un banco de 100, de menos a más difíciles (los últimos tienen tres números). Oprime Otros 10 ejercicios para volver a intentar con ejercicios diferentes.

Rúbrica · mcm y MCD

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Criterio Nivel 1Insuficiente Nivel 2En desarrollo Nivel 3En desarrollo · mínimo indispensable Nivel 4Suficiente Nivel 5Satisfactorio
ComunicaciónExpresión escrita y oralTransmite sus ideas utilizando vocabulario matemático y con una variedad de representaciones (escrito, oral, visual, electrónico, etc.).
Qué observar:
  • Escribe cada número como producto de primos con exponentes (2² · 3) y no como producto de números compuestos (4 · 3).
  • Presenta en orden la descomposición, los primos comunes, el MCD y el mcm, con el símbolo = y las operaciones.
  • Explica con sus palabras qué hizo en cada paso.
 Escribe las descomposiciones con errores de notación (sin exponentes, con factores compuestos) y no se entiende su procedimiento. No usa ningún apoyo, como la escalera de divisiones o la tabla de descomposición. Escribe las descomposiciones y los resultados de forma limitada: se entiende lo que hace, aunque omite pasos (la tabla, los primos comunes) o los exponentes. Repite la regla de memoria y casi no la explica. Escribe correctamente la descomposición en primos, con exponentes, y presenta el MCD y el mcm con los primos elegidos; puede tener alguna deficiencia (por ejemplo, no escribir un paso). Explica con claridad qué hizo. Escribe todos los pasos con notación correcta (primos con exponentes, tabla de descomposición, mcm y MCD) y explica por escrito u oralmente por qué el MCD usa el menor exponente y el mcm el mayor, apoyándose en la tabla de descomposición. Reconstruye el procedimiento en ejercicios nuevos.
Representación aritméticaDistingue, decodifica, selecciona e intercambia entre diferentes representaciones de objetos matemáticos.
Qué observar:
  • Representa un número como producto de primos (escalera de divisiones) y reconoce que es única.
  • Usa la tabla de descomposición simultánea: el mcm es el producto de todos los primos de la derecha y el MCD el de los primos que dividen a todos a la vez (los azules).
  • Relaciona el MCD y el mcm con los múltiplos y divisores comunes.
 Conoce el MCD y el mcm sólo de memoria («el más grande que divide», «el más pequeño que es múltiplo») y los busca por tanteo, sin relacionarlos con la descomposición en primos. Comprende y describe una forma de obtener el MCD y el mcm (los primos o la lista de múltiplos y divisores) y la usa en casos sencillos. Se confunde con tres números o con exponentes mayores que 1. Usa al menos dos representaciones (la tabla de descomposición simultánea y la descomposición en primos con exponentes, o las listas de divisores y múltiplos) y las compara; ve en la tabla que el MCD toma el menor exponente y el mcm el mayor. Combina varias representaciones (primos con exponentes, tabla, listas y la relación MCD · mcm = producto) y elige la más adecuada para cada caso, justificando su elección.
Modelación y resolución de problemasFormulación del problema y sistematización · Matematización y análisis del sistema matemático · Interpretación, evaluación y validación.
Qué observar:
  • Identifica si necesita el MCD (lo que se reparte o se simplifica) o el mcm (lo que se junta o se repite) antes de calcular.
  • Obtiene el MCD y el mcm con un procedimiento correcto y comprueba el resultado (MCD · mcm = producto con dos números).
  • Encuentra y corrige sus propios errores.
 Aplica los pasos al azar: usa el menor exponente para el mcm o multiplica los números sin descomponer. No revisa su resultado. Reconoce qué hace cada operación y obtiene el MCD y el mcm en casos sencillos (números pequeños, uno múltiplo del otro). Falla con exponentes mayores, con tres números o cuando no hay primos comunes, y no comprueba sus resultados. Descompone correctamente, elige los primos y exponentes que corresponden a cada caso, obtiene el MCD y el mcm (también con tres números o sin primos comunes) y los comprueba, por ejemplo con MCD · mcm = producto. Detecta sus errores comunes y los corrige.
ArgumentaciónPensamiento y razonamiento matemáticoSeguir y elaborar cadenas de argumentos.
Qué observar:
  • Explica por qué el MCD usa los primos comunes con el menor exponente y el mcm todos los primos con el mayor exponente.
  • Justifica por qué el MCD de dos números sin primos comunes es 1 y su mcm es el producto.
  • Comprueba sus resultados y explica por qué MCD · mcm = producto de dos números.
 Defiende su resultado con frases como «así es la regla» o «así me salió». Reconoce intuitivamente que hay un procedimiento, pero no lo explica ni lo comprueba. Explica con sus palabras (por ejemplo, «el MCD es lo que comparten, el mcm es lo que junta a los dos») por qué el MCD es menor y el mcm mayor, con pocos términos matemáticos. Valida el procedimiento con ejemplos: calcula varios MCD y mcm y los comprueba con listas de divisores y múltiplos; da ejemplos y contraejemplos (por ejemplo, 4 · 6 = 24 no es el mcm de 4 y 6). Explica la estructura del argumento: un divisor común sólo puede usar los primos que están en todos los números (con a lo más el menor exponente) y un múltiplo común debe contener todos los primos (con al menos el mayor exponente). Comprueba sus resultados. Construye una cadena de argumentos que generaliza: justifica con los exponentes por qué MCD · mcm = producto de dos números (min + max = suma de exponentes) y distingue convencerse con ejemplos de demostrar.

Nivel 0 · No hay elementos: no existen evidencias suficientes para evaluar (no se presentó o asistió a menos del 20% del curso).