Matemáticas 1 · Tema 6 · Divisibilidad

Múltiplos y divisores

Dos caras de la misma idea

Como 3 · 4 = 12, decimos que 12 es múltiplo de 3 y que 3 es divisor de 12. Es lo mismo visto desde dos lados:

★ Múltiplos y divisores ★
a es múltiplo de b = b es divisor de a
Cómo saberlo a ÷ b da un número entero, sin residuo
36 ÷ 9 = 4 → 36 es múltiplo de 9 y 9 es divisor de 36
36 ÷ 8 = 4 con residuo 4 → 36 no es múltiplo de 8

Múltiplos

Los múltiplos de un número se obtienen multiplicándolo por 1, 2, 3, 4, 5… Hay infinitos y el primero es el propio número.

★ Múltiplos ★
n · 1,  n · 2,  n · 3,  n · 4…
Ejemplo · múltiplos de 7 7 · 1 = 7, 7 · 2 = 14, 7 · 3 = 21, 7 · 4 = 28, 7 · 5 = 35…

Divisores

Los divisores de un número son los que lo dividen exacto. Hay pocos (los más grandes son el propio número). Se encuentran por parejas que multiplican el número:

★ Divisores por parejas ★
Paso 1
1 · n
la primera pareja siempre existe
Paso 2
2, 3, 4…
prueba cuáles dividen exacto y escribe su pareja
Paso 3
parar
cuando las parejas se repiten (o llegas a la raíz)
Ejemplo · divisores de 36 36 = 1 · 36 = 2 · 18 = 3 · 12 = 4 · 9 = 6 · 6
Divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Ejercicios: múltiplos y divisores

Instrucciones

Hay tres tipos de ejercicios (de los más sencillos a los más difíciles):

• Múltiplos: escribe los primeros 5 múltiplos de un número, separados con comas, por ejemplo 7, 14, 21, 28, 35.
• Sí o no: decide si un número es múltiplo de otro (y escribe el residuo de la división).
• Divisores: escribe todos los divisores de un número, por ejemplo 1, 2, 3, 6.

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Rúbrica · Múltiplos y divisores

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Criterio Nivel 1Insuficiente Nivel 2En desarrollo Nivel 3En desarrollo · mínimo indispensable Nivel 4Suficiente Nivel 5Satisfactorio
ComunicaciónExpresión escrita y oralTransmite sus ideas utilizando vocabulario matemático y con una variedad de representaciones (escrito, oral, visual, electrónico, etc.).
Qué observar:
  • Escribe las listas de múltiplos y de divisores en orden y separadas con comas.
  • Escribe la división que justifica «es múltiplo» (a ÷ b = k, residuo 0) o «no lo es» (con su residuo).
  • Explica con sus palabras la diferencia entre múltiplo y divisor.
 Escribe listas desordenadas o mezcla múltiplos con divisores, y no se entiende su procedimiento. No usa ningún apoyo, como las divisiones o las parejas. Escribe las listas con omisiones y justifica «es múltiplo» sólo con el resultado, sin la división. Repite las definiciones de memoria. Escribe correctamente listas y divisiones con el vocabulario adecuado y justifica sus respuestas; puede tener alguna omisión menor. Escribe y explica con notación correcta múltiplos, divisores y su relación (a = b · k), y reconstruye el procedimiento en ejercicios nuevos, apoyándose en parejas de factores.
Representación aritméticaDistingue, decodifica, selecciona e intercambia entre diferentes representaciones de objetos matemáticos.
Qué observar:
  • Representa los múltiplos como una tabla de multiplicar (n · 1, n · 2…) y los divisores como parejas (a · b = n).
  • Relaciona «múltiplo de» con «divisor de» y con la división exacta.
  • Reconoce que los múltiplos son infinitos y los divisores son finitos.
 Conoce las palabras sólo de memoria y no las relaciona con la multiplicación o la división. Representa los múltiplos con una tabla de multiplicar y los divisores con la lista, en casos sencillos. Se confunde con números grandes o con la relación entre múltiplo y divisor. Usa dos representaciones (tabla de múltiplos y parejas de factores) y las relaciona con la división exacta; también con números grandes. Combina varias representaciones (multiplicación, división exacta, parejas) y justifica por qué los múltiplos son infinitos y los divisores finitos.
Modelación y resolución de problemasFormulación del problema y sistematización · Matematización y análisis del sistema matemático · Interpretación, evaluación y validación.
Qué observar:
  • Decide qué hacer según la pregunta (multiplicar para los múltiplos, dividir para decidir y para los divisores).
  • Obtiene todos los divisores por parejas y comprueba que no falte ninguno.
  • Encuentra y corrige sus errores.
 Aplica una operación al azar (suma en lugar de multiplicar) y no revisa su resultado. Elige la operación adecuada en casos sencillos, pero obtiene listas incompletas de divisores y no las revisa. Elige el procedimiento adecuado en cada tipo de ejercicio, obtiene listas completas, calcula bien el residuo y revisa sus resultados (por ejemplo, multiplicando las parejas). Detecta y corrige sus errores.
ArgumentaciónPensamiento y razonamiento matemáticoSeguir y elaborar cadenas de argumentos.
Qué observar:
  • Justifica que «a es múltiplo de b» con la división exacta o con a = b · k.
  • Explica por qué la lista de divisores está completa (parejas, hasta la raíz).
  • Da un ejemplo y un contraejemplo de múltiplo.
 Defiende sus respuestas con «así me salió» o «cabe más o menos». Explica con sus palabras («es múltiplo porque está en la tabla del 7») por qué un número es múltiplo, con pocos términos matemáticos. Valida con ejemplos: comprueba con la división o con la tabla de multiplicar, y da ejemplos y contraejemplos. Explica la estructura del argumento: dividir y obtener residuo 0 es la hipótesis y que sea múltiplo (y divisor) es la conclusión; justifica que la lista de divisores está completa. Construye una cadena de argumentos que generaliza (cada divisor tiene una pareja, a = b · k para algún entero k) y distingue convencerse con ejemplos de demostrar.

Nivel 0 · No hay elementos: no existen evidencias suficientes para evaluar (no se presentó o asistió a menos del 20% del curso).