La resolución gráfica de una ecuación lineal depende de las variables. En este curso, si se trata de un sistema de ecuaciones lineales con dos variables, cada ecuación se representa por medio de una recta. La solución del sistema varía según la posición de las rectas.
Resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas mediante el método gráfico, desarrollando la capacidad para representar cada ecuación en el plano cartesiano, identificar el punto de intersección de las rectas y comprender su relación con la solución del sistema.
Antecedentes. Revisa en tus apuntes del curso de Matemáticas II lo siguiente:
¿Necesitas repasar cómo graficar una recta con la pendiente y la ordenada al origen? Lo viste en Matemáticas 2.
Este método es importante pues, de manera gráfica, podemos determinar si un sistema de ecuaciones 2×2 tiene:
Las rectas se cruzan en un solo punto.
Las rectas son coincidentes (la misma recta).
Las rectas son paralelas y nunca se cruzan.
Procedimiento
Video: el método gráfico paso a paso
Ejemplo resuelto
Paso 1. Despejamos y en ambas ecuaciones:
y = 2x − 5 → m = 2, b = −5 y = −(32)x + 2 → m = −32, b = 2Como las ordenadas son enteras, no se requiere una escala especial.
Paso 3. El sistema tiene solución única, pues las rectas se intersecan en un solo punto.
Paso 4. La coordenada de solución es (2, −1), por lo que x = 2 y y = −1.
Paso 5. Comprobación. Sustituimos los valores encontrados en ambas ecuaciones:
2x − y = 5
2(2) − (−1) = 5
4 + 1 = 5
5 = 5 ✓
3x + 2y = 4
3(2) + 2(−1) = 4
6 − 2 = 4
4 = 4 ✓
Conocimiento previo
¿Ya se te olvidó cómo pasar la ecuación general a la ordinaria (y = mx + b)? Lo viste en Matemáticas 2.
Evaluar el desarrollo de habilidades para representar, resolver e interpretar sistemas de ecuaciones lineales mediante su representación gráfica.
Instrucciones. Resolver y comprobar (sólo en el caso de que la solución sea única), en hojas cuadriculadas, los siguientes sistemas de ecuaciones por el método gráfico.
Cada ejercicio tiene un botón “Ver respuesta” con el resultado y su gráfica. Resuélvelo primero en tu cuaderno y después revisa.
Solución única:
x = 2, y = 1
y = 2x − 3 y = −x + 3
Infinitas soluciones: las dos ecuaciones son la misma recta.
y = 2x − 4 y = 2x − 4
No tiene solución: las rectas son paralelas (misma pendiente, distinta ordenada).
y = −x + 4 y = −x + 5
Solución única:
x = 2, y = 3
y = x + 1 y = 2x − 1
Solución única:
x = 2, y = 1
y = x − 1 y = −x + 3
Infinitas soluciones: las dos ecuaciones son la misma recta.
y = (−1/2)x + 1/2 y = (−1/2)x + 1/2
Solución única:
x = 2, y = 1
y = x − 1 y = (−1/2)x + 2
Solución única:
x = 1, y = 2
y = x + 1 y = −2x + 4
Solución única:
x = −2, y = −4
y = x − 2 y = −x − 6
Solución única:
x = −2, y = 3
y = −3x − 3 y = (−1/2)x + 2
Instrucciones. Resolver y comprobar (sólo en el caso de que la solución sea única), en hojas cuadriculadas, los siguientes sistemas de ecuaciones por el método gráfico.
Método gráfico — Rúbrica
| Criterio | Nivel 1Insuficiente | Nivel 2En desarrollo | Nivel 3En desarrollo · mínimo indispensable | Nivel 4Suficiente | Nivel 5Satisfactorio |
|---|---|---|---|---|---|
| ComunicaciónExpresión escrita y oralTransmite sus ideas utilizando vocabulario matemático y con una variedad de representaciones (escrito, oral, visual, electrónico, etc.). Qué observar:
|
La hoja no se entiende: no rotula ejes ni rectas, escribe las ecuaciones con errores de signo y no escribe una conclusión. | Escribe las ecuaciones y la coordenada solución, aunque con errores de notación o sin rotular todo. Usa la gráfica para repetir el procedimiento de manera mecánica; sus tablas y gráficas son limitadas. | Escribe correctamente ecuaciones, despeje y solución como par ordenado; rotula ejes y rectas con claridad, aunque puede tener alguna deficiencia (por ejemplo, escala poco uniforme). Su conclusión es clara. | Presenta el despeje, la tabla de valores, la gráfica con ejes, escala y rectas rotuladas, y la conclusión escrita. Expresa la solución por varios medios (par ordenado y su lectura en la gráfica) y puede explicarla. | |
| Representación geométricaDistingue, decodifica, selecciona e intercambia entre diferentes representaciones de objetos matemáticos. Qué observar:
|
Conoce el plano cartesiano y ubica puntos, pero traza las rectas sin escala, con puntos mal ubicados o invirtiendo x con y. | Describe las rectas (pendiente y ordenada) y traza cada una con dos o más puntos. Sus gráficas tienen errores de escala o de ubicación que no impiden leer el resultado. | Clasifica la posición de las rectas (se cruzan, coinciden o son paralelas) e interpreta sus relaciones a partir de la pendiente y la ordenada. | A partir de la pendiente y la ordenada anticipa si las rectas se cruzan, coinciden o son paralelas, y lo confirma con la gráfica. | |
| Representación algebraicaDistingue, decodifica, selecciona e intercambia entre diferentes representaciones de objetos matemáticos. Qué observar:
|
Conoce la forma y = mx + b, pero despeja con errores de signo y no identifica m y b. | Despeja y correctamente en la mayoría de las ecuaciones, usa la forma y = mx + b e identifica la pendiente y la ordenada. | Comprende y maneja las propiedades del lenguaje algebraico para transformar cualquier ecuación general a su forma normal (también con coeficientes fraccionarios) y compara las pendientes de las dos rectas. | Explica qué representan m y b en la gráfica y generaliza cómo las pendientes y las ordenadas determinan el número de soluciones del sistema. | |
| Modelación y resolución de problemasFormulación del problema y sistematización · Matematización y análisis del sistema matemático · Interpretación, evaluación y validación. Qué observar:
|
Grafica o resuelve sin saber qué se busca: confunde x con y o una ecuación con la otra, y no relaciona la solución con el punto de intersección. | Identifica que la solución es el punto donde se cruzan las rectas y usa el método (despeje, tabla, gráfica) para encontrarlo. No siempre comprueba, y falla en los casos sin solución o con infinitas soluciones. | Identifica qué se busca, grafica las dos rectas, obtiene el punto de intersección, decide si el sistema tiene solución única, ninguna o infinitas, y revisa el resultado sustituyendo en ambas ecuaciones. | ||
| ArgumentaciónPensamiento y razonamiento matemáticoSeguir y elaborar cadenas de argumentos. Qué observar:
|
Afirma el resultado sin explicar («porque las rectas se cruzan»). Reconoce intuitivamente de dónde sale, pero no lo defiende. | Defiende la solución con un argumento simple («el punto está en las dos rectas, por eso cumple las dos ecuaciones») con lenguaje matemático básico. | Valida su solución con ejemplos: sustituye el par en las ecuaciones. Reconoce ejemplos de sistemas con una, ninguna o infinitas soluciones. | Explica la estructura del argumento: las ecuaciones son la hipótesis y la solución (o su ausencia) es la conclusión, que justifica con la comprobación. Distingue lo que ve en la gráfica (conjetura) de lo que comprueba (conclusión). | Elabora una cadena de argumentos que generaliza: relaciona la posición de las rectas con el número de soluciones para cualquier sistema 2×2, y explica por qué ver la gráfica no basta y hay que comprobar. |
Nivel 0 · No hay elementos: no existen evidencias suficientes para evaluar (no se presentó o asistió a menos del 20% del curso).