En f(x) = a(x − h)², el número a decide hacia dónde abre la parábola y qué tan abierta es (como ya vimos en f(x) = ax²), y el número h la mueve hacia los lados. Para ver bien qué hace h, primero tomamos a = 1: f(x) = (x − h)². En la aplicación puedes cambiar a y h, y al final practicas con a = 1 y con a = −1.
¿Qué hace el número h?
El número h sólo mueve la parábola hacia los lados: no cambia su forma (es igual de abierta que x²) ni hacia dónde abre (siempre hacia arriba). El vértice siempre queda en V(h, 0), el eje de simetría es la recta x = h y la única raíz es x = h, porque (x − h)² = 0 sólo cuando x − h = 0. Además, la parábola corta al eje y en el punto (0, h²), porque f(0) = (0 − h)² = h².
¿Por qué parece al revés?
Es común pensar que (x − 3)² se mueve a la izquierda, porque hay un signo menos. Pero fíjate en lo que pasa con el vértice: en x² el valor mínimo, 0, se alcanza cuando x = 0. En (x − 3)² el paréntesis vale 0 cuando x = 3, así que el mínimo ahora está en x = 3. Cada punto de x² se movió 3 unidades a la derecha.
Por eso, para encontrar h, hay que mirar el número que se le resta a x dentro del paréntesis: en (x + 5)² = (x − (−5))² ese número es −5, y la parábola se mueve 5 a la izquierda.
Prueba tú: f(x) = a(x − h)²
Escribe un valor para a (entre −50 y 50, distinto de 0) y otro para h (entre −5 y 5), por ejemplo 3, −2 o 1/2, y oprime Graficar. También puedes usar los botones. Observa cómo la parábola azul punteada (x²) se convierte en la verde: primero a la estira o la voltea (flechas verticales claras) y luego h la mueve hacia los lados (flechas con punta). Fíjate dónde queda el vértice V(h, 0). Si h es una fracción (con denominador de 2 a 10), cada cuadrito del eje x se divide en partes iguales para que puedas ver la escala. Para ver qué hace sólo h, deja a = 1.
Azul punteada: f(x) = x² (referencia) · Verde: f(x) = a(x − h)² · Rombo: raíz (donde toca al eje x) · Cuadro naranja: donde corta al eje y · Eje x: cada cuadrito = 1 unidad · Eje y: cada cuadrito = 1 unidad
Para recordar
1. h es el número que se le resta a x dentro del paréntesis. Si ves (x + 4)², entonces h = −4.
2. h > 0 mueve la parábola a la derecha; h < 0, a la izquierda; h = 0 la deja en su lugar. h no cambia la forma ni hacia dónde abre.
3. a decide hacia dónde abre (a > 0 arriba y mínimo; a < 0 abajo y máximo) y qué tan abierta es (|a| > 1 delgada; |a| < 1 gorda).
4. El vértice es V(h, 0), el eje de simetría es x = h y las dos raíces son iguales: x₁ = x₂ = h. Son raíces reales y repetidas (la parábola sólo toca al eje x). Corta al eje y en (0, a·h²).
Ejercicios: analiza f(x) = a(x − h)² cuando a = 1 o a = −1
Algunas funciones vienen factorizadas, por ejemplo f(x) = (x − 3)², y otras vienen como un trinomio cuadrado perfecto, por ejemplo f(x) = x² − 6x + 9. En estas últimas, primero factoriza (así encuentras h) y escribe la función factorizada con paréntesis y el exponente 2, por ejemplo (x − 3)² o −(x + 2)². Debajo de cada casilla hay botones para escribir los paréntesis, la x, el ², los signos y la fracción; también puedes usar ^2 con el teclado.
Después contesta y oprime Comprobar:
• ¿Hacia dónde abre la parábola: arriba o abajo? (fíjate si hay un signo menos delante del paréntesis)
• ¿Tiene un máximo o un mínimo?
• ¿Dónde está su vértice? Escribe las dos coordenadas en V(___, ___).
• ¿Cuál es el valor de sus raíces? Escribe x₁ y x₂ (los valores de x donde f(x) = 0).
• ¿Cómo son sus raíces: reales y diferentes, reales y repetidas o imaginarias?
• ¿Dónde corta al eje y? Escribe el número que falta en (0, ___).
Los números pueden ser enteros, fracciones (por ejemplo 5/2) o decimales, con signo si es negativo.
Te tocan 10 ejercicios al azar de un banco de 100. Cuando termines, oprime Otros 10 ejercicios para volver a intentar con ejercicios diferentes.
¿Ya se te olvidó cómo factorizar un trinomio cuadrado perfecto o cómo se desarrolla un binomio al cuadrado? Repásalo antes de empezar.
Ejercicios: analiza f(x) = a(x − h)² con otros valores de a
Ahora a es un número distinto de 1 y de −1 (entero o fracción, positivo o negativo). Para cada función contesta y oprime Comprobar:
1. ¿Hacia dónde abre la parábola? (fíjate en el signo de a)
2. ¿Tiene un máximo o un mínimo?
3. Comparada con x², ¿es gorda o flaca? (fíjate en |a|: mayor que 1 es flaca, menor que 1 es gorda)
4. ¿Dónde está su vértice? Escribe las dos coordenadas en V(___, ___).
5. ¿Cuál es el valor de sus raíces? Escribe x₁ y x₂ (los valores de x donde f(x) = 0).
6. ¿Cómo son sus raíces: reales y diferentes, reales y repetidas o imaginarias?
7. Desarrolla el binomio al cuadrado (x − h)² con la regla (a ± b)² = a² ± 2ab + b².
8. Multiplica el resultado por a: así obtienes f(x) desarrollada.
9. ¿Dónde corta al eje y? Es el valor de f(x) cuando x = 0, el término que no tiene x.
Debajo de cada casilla hay botones para escribir x, ², los signos y la fracción; también puedes usar ^2 y / con el teclado, por ejemplo x^2 − 6x + 9 o 5/2.
Te tocan 10 ejercicios al azar de un banco de 100. Cuando termines, oprime Otros 10 ejercicios para volver a intentar con ejercicios diferentes.
Rúbrica · f(x) = a(x − h)²
| Criterio | Nivel 1Insuficiente | Nivel 2En desarrollo | Nivel 3En desarrollo · mínimo indispensable | Nivel 4Suficiente | Nivel 5Satisfactorio |
|---|---|---|---|---|---|
| ComunicaciónExpresión escrita y oralTransmite sus ideas utilizando vocabulario matemático y con una variedad de representaciones (escrito, oral, visual, electrónico, etc.). Qué observar:
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Escribe el vértice con las coordenadas invertidas o sin paréntesis, deja la función sin el exponente 2 o escribe un desarrollo con menos de tres términos. No usa ningún apoyo, como la regla del binomio al cuadrado, y sus respuestas no se entienden. | Usa la simbología con limitaciones: escribe V(h, 0) y los resultados, pero no siempre en la forma correcta (omite el signo de h o un paréntesis, o escribe el corte sin el factor a). Contesta sin explicar o sólo repite la regla. | Escribe con la simbología correcta el vértice, el corte con el eje y, el binomio desarrollado y f(x) desarrollada, con alguna deficiencia (por ejemplo, una fracción sin simplificar). Explica con claridad qué hizo en cada paso. | Escribe y explica con notación correcta a, h, V(h, 0), la factorización, el desarrollo y el corte (0, a·h²), por diferentes medios (con la fórmula, con la gráfica y con palabras), y reconstruye el análisis de una función nueva. | |
| Representación geométricaDistingue, decodifica, selecciona e intercambia entre diferentes representaciones de objetos matemáticos. Qué observar:
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Conoce la parábola básica x², pero no distingue hacia dónde se mueve al cambiar h ni dónde queda el vértice; confunde el movimiento de h con el de a o con el de b. | Describe las propiedades de la parábola: hacia dónde abre, si es gorda o flaca y dónde está el vértice en los casos sencillos (h entero, a = 1 o −1). Se equivoca con h negativo, con h fraccionario, con a fraccionaria o con a negativa. | Clasifica la parábola (arriba o abajo, máximo o mínimo, gorda o flaca) e interpreta cómo a y h cambian la gráfica de x²: ubica el vértice V(h, 0), el eje de simetría x = h, la raíz repetida y el corte con el eje y, también con h y a fraccionarios. | Sin graficar, anticipa la forma, el movimiento, el vértice y los cortes con los ejes a partir de a y h, y lo confirma con la aplicación, incluso con h racional (usando una escala adecuada en el eje x). | |
| Representación algebraicaDistingue, decodifica, selecciona e intercambia entre diferentes representaciones de objetos matemáticos. Qué observar:
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Conoce f(x) = a(x − h)² sólo de memoria; confunde los papeles de a y h, desarrolla (x − h)² como x² − h² o x² + h², o no multiplica por a. | Usa correctamente la expresión: identifica a y h y desarrolla (x − h)² con h entero. Le fallan los casos con h negativo, h fraccionario o a fraccionaria o negativa, y el signo del doble producto. | Comprende y maneja las propiedades: identifica a y h en cualquier caso (también con (x + k)), factoriza el TCP con el signo correcto, desarrolla el binomio, multiplica todo el trinomio por a y obtiene el corte con el eje y, incluso con fracciones. | Explica que h mueve la parábola y a cambia su forma, y generaliza: el vértice es V(h, 0), la raíz es x = h y el corte con el eje y es (0, a·h²), para cualquier a y h. Usa el desarrollo y la factorización como procesos inversos. | |
| ArgumentaciónPensamiento y razonamiento matemáticoSeguir y elaborar cadenas de argumentos. Qué observar:
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Dice «se mueve a la izquierda porque hay un menos» o «así es la regla» sin justificar. Reconoce intuitivamente que h mueve la gráfica, pero no lo explica ni lo comprueba. | Defiende con una regla simple («lo que se resta a x es h; si h es positivo, se va a la derecha») con lenguaje matemático básico. | Valida con ejemplos: prueba varias parejas de a y h en la aplicación o en la tabla y compara; da ejemplos y no-ejemplos de cuándo la parábola se mueve a la derecha o a la izquierda. | Explica la estructura del argumento: que el paréntesis valga 0 en x = h es la hipótesis y que el vértice esté en V(h, 0) es la conclusión; justifica con f(0) = a·h² el corte con el eje y y comprueba sus resultados con la gráfica. | Elabora una cadena de argumentos que generaliza para cualquier a y h: demuestra por qué cada punto de x² se mueve h unidades a los lados y se multiplica por a, y relaciona el vértice, la raíz repetida y el corte con el eje y con la posición de la parábola. |
Nivel 0 · No hay elementos: no existen evidencias suficientes para evaluar (no se presentó o asistió a menos del 20% del curso).