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Binomio al cuadrado y TCP

¿Por qué es importante?

Un binomio al cuadrado es un binomio multiplicado por sí mismo, por ejemplo (x + 5)² = (x + 5)(x + 5). Es un producto notable: tiene una regla que permite escribir el resultado directamente, sin multiplicar término a término. Y como ese resultado siempre tiene la misma forma, también podemos reconocerlo y volver atrás: ese es el trinomio cuadrado perfecto (TCP).

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²

Esto es útil porque:

Ahorra tiempo y errores: el cuadrado de un binomio se desarrolla en un solo paso. Con la regla se evita el error más común, creer que (a + b)² es a² + b²: falta el término de en medio, el doble producto 2ab.
Sirve para factorizar: un trinomio cuadrado perfecto se escribe como un binomio al cuadrado, y factorizar es la herramienta para resolver ecuaciones y simplificar expresiones.
Prepara temas que vienen: con estas ideas se completa el cuadrado, que da la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado y el vértice de una parábola.
Tiene un significado geométrico: el área de un cuadrado de lado a + b se forma con un cuadrado de área a², uno de área b² y dos rectángulos de área ab.

Cuadrado de lado a + b: área (a + b)² = a² + 2ab + b²

Binomio al cuadrado: cómo se desarrolla

Para desarrollar (a ± b)² escribimos tres términos:

el cuadrado del primer término (a²),
más o menos el doble producto del primero por el segundo (±2ab): lleva el signo que une los términos del binomio,
más el cuadrado del segundo término (b²), siempre positivo.

Ejemplos:

(x + 5)² = x² + 10x + 25
(3m − 4)² = 9m² − 24m + 16

Video: binomio al cuadrado

Video con voz: qué es un binomio al cuadrado, por qué (a + b)² no es a² + b², la regla paso a paso, tres ejemplos, errores comunes y un ejercicio para resolver.

Ejercicios: binomio al cuadrado

Instrucciones

Desarrolla cada binomio al cuadrado y escribe el resultado sin paréntesis (un trinomio). Después oprime Comprobar (o la tecla Enter). Recuerda la regla: (a ± b)² = a² ± 2ab + b².

Para un exponente usa el signo ^ (por ejemplo x^2) o los botones ², ³… que están debajo de cada cuadro. Las fracciones se escriben con / (por ejemplo 1/4) y los decimales con punto. No importa el orden de los términos.

Te tocan 10 ejercicios al azar de un banco de 100. Cuando termines, oprime Otros 10 ejercicios para volver a intentar con ejercicios diferentes.

Trinomio cuadrado perfecto (TCP): cómo se factoriza

Un trinomio cuadrado perfecto es el resultado de elevar un binomio al cuadrado. Para reconocerlo, revisa que:

el primer y el último término sean cuadrados perfectos (positivos): saca su raíz cuadrada y obtienes a y b,
el término de en medio sea el doble producto 2ab (con el signo que sea).

Si se cumple, se factoriza como (a + b)² cuando el término de en medio es positivo, o como (a − b)² cuando es negativo:

x² + 10x + 25 = (x + 5)²
9m² − 24m + 16 = (3m − 4)²

Cuidado: x² + 10x + 16 no es un TCP: 16 es un cuadrado perfecto, pero 2 · x · 4 = 8x, no 10x.

Ojo: la raíz de un extremo no siempre es exacta, pero sí se puede escribir con radical. Por ejemplo, en x² − 6xy + 10y² el último término tiene raíz: √(10y²) = √10 y. Entonces el doble producto es 2 · x · √10 y = 2√10 xy, que no es 6xy. Por eso no es un TCP: lo que decide es que el término de en medio sea el doble producto 2ab. Entre los ejercicios de TCP de abajo también hay con raíces.

Video: trinomio cuadrado perfecto

Video con voz: cómo reconocer un trinomio cuadrado perfecto (dos cuadrados perfectos y el doble producto), los pasos para factorizarlo, tres ejemplos, un trinomio que no es TCP, errores comunes y un ejercicio para resolver.

Ejercicios: trinomio cuadrado perfecto (TCP)

Instrucciones

Ahora al revés. Algunos de estos trinomios no son un TCP. Para cada uno, saca la raíz cuadrada del primer y del último término y comprueba que el de en medio sea el doble producto 2ab. Después oprime Sí es un TCP o No es un TCP.

Si no lo es, la página te explica por qué. Sólo si sí lo es, aparece un cuadro para factorizarlo como un binomio al cuadrado: a² ± 2ab + b² = (a ± b)². Escribe tu respuesta con paréntesis, por ejemplo (x + 5)^2 o (x + 5)(x + 5), y oprime Comprobar. Para los exponentes usa ^ o los botones de abajo de cada cuadro; las fracciones con /.

Los últimos ejercicios del banco traen una raíz cuadrada, por ejemplo x² + 2√5x + 5. La raíz de un extremo puede no ser exacta, pero se escribe con radical: √5 es la raíz de 5, y √12 = 2√3. Haz lo de siempre: saca la raíz del primer y del último término, calcula el doble producto 2ab y compáralo con el término de en medio. Si es un TCP, escribe la raíz con el botón √ (o con sqrt), por ejemplo (x + √5)^2; 2√5x es 2 · √5 · x.

Te tocan 10 ejercicios al azar de un banco de 200. Oprime Otros 10 ejercicios para volver a intentar con ejercicios diferentes.

Rúbrica · Binomio al cuadrado y TCP

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Criterio	Nivel 1Insuficiente	Nivel 2En desarrollo	Nivel 3En desarrollo · mínimo indispensable	Nivel 4Suficiente	Nivel 5Satisfactorio
ComunicaciónExpresión escrita y oralTransmite sus ideas utilizando vocabulario matemático y con una variedad de representaciones (escrito, oral, visual, electrónico, etc.). Qué observar: Escribe cada binomio con paréntesis y el exponente 2, y el trinomio con los signos en su lugar. Escribe a y b con su signo, coeficiente, exponentes, fracciones o decimales. Sus pasos están en orden (a y b, cuadrados, doble producto, comprobación) y puede explicarlos con sus palabras.	Escribe el binomio sin paréntesis o sin el exponente, deja términos sin signo o sin coeficiente (por ejemplo x² + 25 en lugar de x² + 10x + 25) y no se entiende su procedimiento. No usa ningún apoyo, como identificar a y b o la comprobación.	Usa la simbología con limitaciones: se entiende lo que hizo, aunque a veces omite un paréntesis, un signo o la identificación de a y b. Repite la regla de manera mecánica y casi no la explica.		Escribe con la simbología correcta los binomios al cuadrado y las factorizaciones (a ± b)², con alguna deficiencia (por ejemplo, deja una fracción sin simplificar o un signo ambiguo). Explica con claridad qué hizo en cada paso.	Escribe todos los pasos con notación correcta (desarrollo y factorización) y explica por escrito u oralmente de dónde sale cada término del trinomio y cómo se obtiene el binomio, reconstruyendo el procedimiento en un ejercicio nuevo.
Representación algebraicaDistingue, decodifica, selecciona e intercambia entre diferentes representaciones de objetos matemáticos. Qué observar: Identifica a y b con su signo, también cuando traen coeficiente, potencias, varias letras, fracciones o decimales. Aplica (a ± b)² = a² ± 2ab + b² y reconoce el resultado como un trinomio cuadrado perfecto. Reconoce un TCP: dos cuadrados perfectos y el doble producto en medio, y distingue uno que no lo es (x² + 10x + 16). Con raíces: escribe la raíz de un extremo con radical (√(10y²) = √10 y), calcula el doble producto con radical y lo compara con el término de en medio; sabe que (√n)² = n y que √12 = 2√3.	Conoce la regla (a + b)² = a² + 2ab + b² sólo de memoria; escribe a² + b² (olvida el doble producto) o no eleva al cuadrado el coeficiente. No distingue el primer término del segundo ni reconoce un TCP.	Hace un uso correcto de las expresiones: identifica a y b, y desarrolla y factoriza en casos sencillos ((x + 8)², x² + 6x + 9). Le fallan los casos con coeficientes, potencias, varias letras, fracciones o decimales, o el signo del doble producto.		Comprende y maneja las propiedades: eleva al cuadrado cada término, calcula el doble producto con su signo y simplifica; al factorizar, saca las raíces, verifica que el término de en medio sea 2ab y distingue un TCP de un trinomio que no lo es, incluso con varias letras, fracciones o decimales.	Dota de significado y generaliza: explica por qué (a ± b)² no es a² ± b² (aparece el doble producto 2ab, que en la figura son dos rectángulos) y generaliza la regla y su uso inverso para cualquier a y b, también con signos negativos.
ArgumentaciónPensamiento y razonamiento matemáticoSeguir y elaborar cadenas de argumentos. Qué observar: Explica por qué (a + b)² no es a² + b²: aparece el doble producto 2ab. Explica de qué depende el signo del binomio al factorizar un TCP (el signo del término de en medio). Comprueba multiplicando el binomio por sí mismo, término a término, y reduciendo los términos semejantes. Distingue con ejemplos un TCP (x² + 10x + 25) de uno que no lo es (x² + 10x + 16).	Defiende su resultado con frases como «así es la regla» o «así me salió». Reconoce intuitivamente que hay un procedimiento, pero no lo explica ni lo comprueba.	Explica con sus palabras («se eleva cada uno al cuadrado y se suma el doble del primero por el segundo») por qué sale un trinomio, o cómo reconoce un TCP, con pocos términos matemáticos.	Valida con ejemplos: multiplica varios binomios por sí mismos y comprueba que coinciden con la regla, y da ejemplos y no-ejemplos de TCP (x² + 10x + 25 sí; x² + 10x + 16 no).	Explica la estructura del argumento: la regla (a ± b)² = a² ± 2ab + b² es la hipótesis y el trinomio es la conclusión; para factorizar, que el término de en medio sea 2ab es lo que confirma que es un TCP. Justifica cada paso y verifica multiplicando (a ± b)(a ± b) hasta llegar al mismo trinomio.	Elabora una cadena de argumentos que generaliza: demuestra por qué (a ± b)² = a² ± 2ab + b² a partir de (a ± b)(a ± b), usa la figura del cuadrado de lado a + b y explica por qué un trinomio es un TCP si y sólo si su término de en medio es ±2ab. Distingue convencerse con ejemplos de demostrar.

Nivel 0 · No hay elementos: no existen evidencias suficientes para evaluar (no se presentó o asistió a menos del 20% del curso).