Que el estudiante reconozca el efecto del parámetro a en la gráfica f(x) = ax² y que pueda identificar sus características principales, tales como si hay un mínimo, un máximo y el valor de sus raíces.
Recordemos
En el subtema anterior vimos la parábola básica f(x) = x²: tiene su vértice en (0, 0), abre hacia arriba y su eje de simetría es x = 0.
Ahora veamos qué sucede cuando pensamos en:
El número a se llama coeficiente principal. Para calcular y, primero se eleva x al cuadrado y después se multiplica por a:
Si a = 0, la función queda f(x) = 0 · x² = 0, que es una recta horizontal (el eje x), no una parábola.
Actividad 1 · Comparando tablas
Instrucciones. Copia la tabla en tu cuaderno y complétala. Después compara las columnas: ¿qué le pasa a los valores de y cuando a = 2? ¿Y cuando a = 12? ¿Y cuando a = −1?
| x | y = x² | y = 2x² | y = 12x² | y = −x² |
|---|---|---|---|---|
| −3 | ||||
| −2 | ||||
| −1 | ||||
| 0 | ||||
| 1 | ||||
| 2 | ||||
| 3 |
| x | y = x² | y = 2x² | y = 12x² | y = −x² |
|---|---|---|---|---|
| −3 | 9 | 18 | 92 | −9 |
| −2 | 4 | 8 | 2 | −4 |
| −1 | 1 | 2 | 12 | −1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 2 | 12 | −1 |
| 2 | 4 | 8 | 2 | −4 |
| 3 | 9 | 18 | 92 | −9 |
Observa: con a = 2 cada y es el doble que en x²; con a = 12 es la mitad; y con a = −1 es el mismo número pero con signo contrario.
Las gráficas
Al graficar las funciones de la tabla (y otras con a negativa), todas comparten el mismo vértice (0, 0), pero cambian de forma. La línea punteada gris es la parábola de referencia (x² o −x²).
Video: variando el número a
Video: cómo se mueven los puntos de x²
Pruébalo tú · Elige el valor de a
Azul punteada: f(x) = x² (referencia) · Verde: f(x) = ax²
| x | y = x² | y = a · x² | El punto se mueve |
|---|
¿Qué hace el número a?
Raíces
Las raíces de cualquier función polinómica caen en cualquiera de los siguientes casos:
En f(x) = ax²: el signo de a dice si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo, y el tamaño de a dice si es más cerrada o más abierta que x². El vértice siempre se queda en el origen. La parábola sólo toca el eje x en el vértice, así que f(x) = ax² tiene una raíz repetida: x = 0.
Ejercicios
Para cada función grafica. Después indica hacia dónde abre, si tiene un mínimo o un máximo, y si es más cerrada o más abierta que x². Resuelve primero en tu cuaderno y después revisa con el botón “Ver respuesta”.
a = 3. Abre hacia arriba: tiene un mínimo en el vértice V(0, 0). Es más cerrada (más “flaca”) que x².
Eje de simetría: x = 0. Raíz repetida: x = 0. Algunos puntos: f(1) = 3; f(2) = 12 (y sus simétricos con x negativa).
Línea punteada: x² como referencia.
a = −12. Abre hacia abajo: tiene un máximo en el vértice V(0, 0). Es más abierta (más “gorda”) que x².
Eje de simetría: x = 0. Raíz repetida: x = 0. Algunos puntos: f(1) = −12; f(2) = −2 (y sus simétricos con x negativa).
Línea punteada: −x² como referencia.
a = 210 = 15 = 0.2. Abre hacia arriba: tiene un mínimo en el vértice V(0, 0). Es más abierta (más “gorda”) que x².
Eje de simetría: x = 0. Raíz repetida: x = 0. Algunos puntos: f(1) = 15; f(2) = 45 (y sus simétricos con x negativa).
Línea punteada: x² como referencia.
a = −4. Abre hacia abajo: tiene un máximo en el vértice V(0, 0). Es más cerrada (más “flaca”) que x².
Eje de simetría: x = 0. Raíz repetida: x = 0. Algunos puntos: f(1) = −4; f(2) = −16 (y sus simétricos con x negativa).
Línea punteada: −x² como referencia.
a = 52 = 2.5. Abre hacia arriba: tiene un mínimo en el vértice V(0, 0). Es más cerrada (más “flaca”) que x².
Eje de simetría: x = 0. Raíz repetida: x = 0. Algunos puntos: f(1) = 52; f(2) = 10 (y sus simétricos con x negativa).
Línea punteada: x² como referencia.
a = −1. Abre hacia abajo: tiene un máximo en el vértice V(0, 0). Es la misma abertura (es el reflejo de x² en el eje x).
Eje de simetría: x = 0. Raíz repetida: x = 0. Algunos puntos: f(1) = −1; f(2) = −4 (y sus simétricos con x negativa).
Línea punteada: −x² como referencia.
Actividad 2 · Evaluar la función
Calcula en tu cuaderno. Recuerda: primero el cuadrado, después la multiplicación por a.
f(2) = 3(2)² = 3(4) = 12
f(3) = −2(3)² = −2(9) = −18
f(4) = 12(4)² = 12(16) = 8
f(−2) = −14(−2)² = −14(4) = −1
f(−1) = 5(−1)² = 5(1) = 5
f(0) = −3(0)² = 0. Es el vértice: toda parábola y = ax² pasa por (0, 0).
Actividad 3 · Encuentra el valor de a
Cada punto pertenece a una parábola de la forma y = ax². Encuentra el valor de a. Pista: sustituye x y y en y = ax² y despeja a.
12 = a(2)² → 12 = 4a → a = 124 = 3. La función es y = 3x².
−5 = a(1)² → −5 = a → a = −5. La función es y = −5x².
4 = a(4)² → 4 = 16a → a = 416 = 14. La función es y = 14x².
−18 = a(−3)² → −18 = 9a → a = −189 = −2. La función es y = −2x².
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