¿Qué vamos a estudiar?
Un binomio conjugado es un par de binomios que tienen los mismos dos términos, pero que solo se diferencian en el signo que los une: uno es una suma y el otro una resta. Por ejemplo:
Su producto es una diferencia de cuadrados. Al multiplicarlos, los términos centrales se cancelan:
(a + b)(a − b) = a² − ab + ab − b² = a² − b²
Por eso la regla práctica es: el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo. Ejemplos:
El proceso inverso también es útil en factorización: si ves una diferencia de cuadrados como y² − 16, puedes escribirla como el producto de binomios conjugados (y + 4)(y − 4).
Video: binomios conjugados
Ejercicios: binomios conjugados
Escribe el resultado de cada producto y oprime Comprobar (o la tecla Enter). La página te dirá si tu respuesta es correcta. Recuerda la regla: (a + b)(a − b) = a² − b².
Para escribir un exponente usa el signo ^ (por ejemplo x^2) o los botones ², ³… que están debajo de cada cuadro. Las fracciones se escriben con / (por ejemplo 1/4).
Te tocan 10 ejercicios al azar de un banco de 100. Cuando termines, oprime Otros 10 ejercicios para volver a intentar con ejercicios diferentes.
Ejercicios: diferencia de cuadrados perfectos (DCP)
Ahora al revés: factoriza cada diferencia de cuadrados. Saca la raíz cuadrada de cada término y escribe el producto de dos binomios conjugados: a² − b² = (a + b)(a − b).
Escribe tu respuesta con paréntesis, por ejemplo (x + 5)(x − 5), y oprime Comprobar. No importa cuál binomio escribas primero. Para los exponentes usa ^ o los botones de abajo de cada cuadro; las fracciones con /.
Te tocan 10 ejercicios al azar de un banco de 100. Oprime Otros 10 ejercicios para volver a intentar con ejercicios diferentes.
Video: ecuaciones ax² + b = 0 con raíces imaginarias
Ejercicios: ecuaciones ax² + b = 0 con raíces imaginarias
Resuelve cada ecuación en tu cuaderno y escribe sus raíces en el cuadro. Puedes escribir las dos juntas con ± (por ejemplo ±5i) o separadas con coma (por ejemplo 5i, −5i). Después oprime Comprobar (o la tecla Enter).
La i se escribe con la letra i. Para una raíz cuadrada usa el botón √ (por ejemplo ±2√2 i) y para una fracción el signo / (por ejemplo ±3/2 i). Puedes dejar la raíz y la fracción sin simplificar (±√18 i también es correcto), aunque es mejor simplificarlas (±3√2 i).
Todas son de la forma ax² + b = 0 con a y b del mismo signo: son una suma de cuadrados, no se pueden factorizar como DCP y sus raíces son imaginarias. Te tocan 10 ejercicios al azar de un banco de 100. Oprime Otros 10 ejercicios para volver a intentar con ejercicios diferentes.
Rúbrica · Binomios conjugados y DCP
| Criterio | Nivel 1Insuficiente | Nivel 2En desarrollo | Nivel 3En desarrollo · mínimo indispensable | Nivel 4Suficiente | Nivel 5Satisfactorio |
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| ComunicaciónExpresión escrita y oralTransmite sus ideas utilizando vocabulario matemático y con una variedad de representaciones (escrito, oral, visual, electrónico, etc.). Qué observar:
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Escribe productos, factorizaciones o raíces con errores que cambian el sentido (omite paréntesis, no eleva el coeficiente al cuadrado, escribe √−25 = 5 sin la i) y no se entiende su procedimiento. No usa ningún apoyo, como un ejemplo o la comprobación. | Usa la simbología con limitaciones: se entiende lo que hizo, aunque a veces omite un paréntesis, un paso o el signo ±. Repite el procedimiento de manera mecánica y casi no lo explica. | Escribe con la simbología correcta los productos, las factorizaciones (a + b)(a − b) y las raíces ±…i, con alguna deficiencia (por ejemplo, no simplifica un radical o deja un paso intermedio incompleto). Explica con claridad qué hizo en cada paso. | Escribe todos los pasos con notación correcta (producto, factorización y raíces imaginarias) y explica por escrito u oralmente por qué se cancelan los términos de en medio y de dónde sale la i, reconstruyendo el procedimiento en un ejercicio nuevo. | |
| Representación algebraicaDistingue, decodifica, selecciona e intercambia entre diferentes representaciones de objetos matemáticos. Qué observar:
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Conoce la regla (a + b)(a − b) = a² − b² sólo de memoria; confunde la diferencia con la suma de cuadrados o no distingue el primer término del segundo. | Hace un uso correcto de las expresiones: identifica el primer y el segundo término y aplica la regla en casos sencillos (x² − 9, 4x² − 25). Le fallan los casos con coeficientes, potencias, fracciones o varias letras, y la suma de cuadrados. | Comprende y maneja las propiedades: eleva al cuadrado cada término (coeficiente y letra), factoriza la DCP incluso con varias letras o fracciones y reconoce que una suma de cuadrados no es DCP. Relaciona el signo de a y b con las raíces imaginarias y usa √−k = √k · i. | Dota de significado y generaliza: explica por qué (a + b)(a − b) = a² − b² y por qué a² + b² no se factoriza con números reales. Generaliza cuándo ax² + b = 0 tiene raíces reales (signos contrarios, DCP) o imaginarias (mismo signo), para cualquier a y b. | |
| Modelación y resolución de problemasFormulación del problema y sistematización · Matematización y análisis del sistema matemático · Interpretación, evaluación y validación. Qué observar:
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Aplica los procedimientos al azar: multiplica cuando debía factorizar, o saca la raíz sin despejar x². No distingue la incógnita del término constante y se limita a copiar sin comprender. | Identifica el tipo de ejercicio y usa algún procedimiento para obtener resultados. Acierta en los casos sencillos (a = 1, cuadrados perfectos), pero falla en los de varios pasos (a distinto de 1, radicales, fracciones, a y b negativos) y no revisa. | Identifica el tipo de ejercicio, elige el procedimiento y obtiene resultados correctos, incluso con a distinto de 1, radicales, fracciones y a y b negativos. Revisa si el resultado es razonable (multiplica de vuelta o sustituye la raíz en la ecuación) y corrige sus errores. | ||
| ArgumentaciónPensamiento y razonamiento matemáticoSeguir y elaborar cadenas de argumentos. Qué observar:
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Defiende su resultado con frases como «así es la regla» o «así me salió». Reconoce intuitivamente que hay un procedimiento, pero no lo explica. | Explica con sus palabras («los de en medio se quitan», «ningún número al cuadrado da negativo») por qué el producto es una resta o por qué hace falta la i, con pocos términos matemáticos. | Valida con ejemplos: multiplica varios binomios conjugados y verifica la regla, y da ejemplos y no-ejemplos de DCP (x² − 9 sí; x² + 9 no). Comprueba sustituyendo la raíz en la ecuación. | Explica la estructura del argumento: que a y b tengan el mismo signo es la hipótesis y que las raíces sean imaginarias es la conclusión (x² = −k, y ningún número real al cuadrado es negativo). Justifica los pasos y distingue lo que supone de lo que concluye, apoyándose en la comprobación. | Elabora una cadena de argumentos que generaliza: demuestra por qué (a + b)(a − b) = a² − b², relaciona la factorización con las raíces reales de ax² + b = 0 y explica por qué, con a y b del mismo signo, las raíces son un par ±…i para cualquier a y b. Distingue convencerse con ejemplos de demostrar. |
Nivel 0 · No hay elementos: no existen evidencias suficientes para evaluar (no se presentó o asistió a menos del 20% del curso).