Trinomio ax² + bx + c: la fórmula general

Hasta aquí el término x² no tenía coeficiente (a = 1). Pero muchos trinomios son como 2x² + 5x + 2, 3x² − 2x − 2 o −x² + 4x − 1. Con ellos ya no sirve buscar dos números con p + q = b y p · q = c: hay que probar combinaciones de a y de c, y el tanteo se vuelve largo y difícil.

La fórmula general sí funciona igual; sólo cambia que ahora a ya no vale 1 y que el denominador es 2a (no sólo 2):

Cosas nuevas que cuidar:

a puede ser negativo (como en −x² + 4x − 1): sustitúyelo con su signo. Si el denominador queda negativo, cambia el signo del numerador y del denominador.
El discriminante ahora usa a: Δ = b² − 4ac. Si a y c tienen el mismo signo, −4ac resta; si tienen signos diferentes, suma.
No hace falta simplificar la raíz: √24 se puede dejar así. Lo que sí conviene hacer, cuando se puede, es simplificar la fracción: si todos los términos del numerador y el denominador se pueden dividir entre el mismo número, se divide (por ejemplo, (−2 ± 2i) ÷ 4 = (−1 ± i) ÷ 2).
Si Δ es un cuadrado perfecto, las soluciones son fracciones o enteros (sin raíz) y el trinomio sí se factoriza con coeficientes enteros. Si Δ = 0, hay una sola solución, repetida. Si Δ no es cuadrado perfecto, hay raíces; si Δ < 0, las soluciones llevan i.

Video con voz: cómo se obtienen a, b y c cuando a no es 1 (también negativa), cómo se sustituyen en la fórmula, cómo se hacen las operaciones y cómo se llega a x₁ y x₂, con un ejemplo de soluciones reales (2x² − 4x − 1 = 0) y uno de soluciones imaginarias (3x² + 2x + 1 = 0).

Errores comunes: dividir entre 2 en lugar de entre 2a (en 2x² + 5x + 2 el denominador es 4, no 2); olvidar a en −4ac; perder el signo de a o de c; dividir sólo un término del numerador cuando se simplifica la fracción (en −2 ± 2i4 se dividen el 2, el 2i y el 4); y, cuando Δ = 0, escribir dos soluciones diferentes.

Criterio	Nivel 1Insuficiente	Nivel 2En desarrollo	Nivel 3En desarrollo · mínimo indispensable	Nivel 4Suficiente	Nivel 5Satisfactorio
ComunicaciónExpresión escrita y oralTransmite sus ideas utilizando vocabulario matemático y con una variedad de representaciones (escrito, oral, visual, electrónico, etc.). Qué observar: Escribe a, b y c con su signo, el discriminante, la sustitución y las dos soluciones con la notación correcta (√, i, ±, fracciones). Escribe las operaciones del discriminante paso a paso (b², 4ac y su resta), con los signos. Explica con sus palabras cómo obtuvo a, b y c y por qué el denominador es 2a.	Escribe sólo un resultado suelto, sin Δ ni sustitución, o con la fórmula mal copiada (sin la raíz o sin el denominador). No usa ningún apoyo.	Usa la simbología con limitaciones: escribe Δ y las soluciones, pero omite el ±, la i o el 2a del denominador, o no simplifica la fracción cuando se puede. Contesta sin explicar.	Escribe con la simbología correcta a, b y c, el discriminante con sus operaciones, la sustitución y las dos soluciones, con alguna deficiencia (por ejemplo, un signo ambiguo). Explica con claridad cada paso.	Escribe y explica con notación correcta todo el procedimiento (a, b y c, Δ, sustitución, simplificación de la fracción cuando se puede, x₁ y x₂, con i si Δ < 0), por diferentes medios (con la fórmula, con el video y con palabras), y reconstruye el procedimiento en una ecuación nueva.
Representación algebraicaDistingue, decodifica, selecciona e intercambia entre diferentes representaciones de objetos matemáticos. Qué observar: Identifica a, b y c con su signo en ax² + bx + c = 0, también con a negativa. Calcula Δ = b² − 4ac y la usa para decidir si las soluciones son enteras o fracciones, reales con raíz, una sola repetida o imaginarias. Sustituye en x = (−b ± √Δ) ÷ 2a, simplifica la fracción cuando se puede y escribe x₁ y x₂.	Conoce la fórmula de memoria, pero confunde a, b y c o la sustituye mal (pierde el signo de −b, usa 2 en lugar de 2a).	Resuelve los casos sencillos (a positiva, b par, Δ positivo). Le fallan los signos, simplificar la fracción, o los casos con Δ negativo o Δ = 0.	Comprende y maneja las propiedades: identifica a, b y c en cualquier caso de signos, calcula bien Δ, sustituye con 2a, simplifica y escribe las dos soluciones (reales, repetida o con i), y usa Δ para saber qué clase de soluciones hay.	Explica que la fórmula resuelve cualquier ecuación cuadrática, relaciona Δ con el tipo de soluciones (cuadrado perfecto: enteras o fracciones y sí se factoriza; Δ = 0: trinomio cuadrado perfecto; Δ < 0: imaginarias) y generaliza el caso a = 1 al caso a distinta de 1.
ArgumentaciónPensamiento y razonamiento matemáticoSeguir y elaborar cadenas de argumentos. Qué observar: Explica por qué el denominador es 2a y por qué la fórmula siempre funciona (a diferencia de buscar pares de números). Justifica, con Δ, qué clase de soluciones tiene la ecuación antes de terminar la cuenta. Comprueba sus soluciones sustituyéndolas en la ecuación.	Dice «así se hace» o «porque la maestra lo pidió» sin justificar. No comprueba sus soluciones.	Defiende con una regla simple («Δ positivo: reales; Δ negativo: imaginarias») con lenguaje matemático básico.	Valida con ejemplos: resuelve varias ecuaciones y comprueba al menos una sustituyendo; da ejemplos de cada tipo de solución.	Explica la estructura del argumento: Δ decide el tipo de soluciones y la fórmula las calcula; comprueba sus resultados y explica por qué cambia el denominador cuando a no es 1.	Elabora una cadena de argumentos que generaliza: relaciona la fórmula con completar el cuadrado y con la factorización (x − x₁)(x − x₂), y justifica con Δ cuándo un trinomio ax² + bx + c se factoriza con números enteros.

Criterio

Nivel 1Insuficiente

Nivel 2En desarrollo

Nivel 3En desarrollo · mínimo indispensable

Nivel 4Suficiente

Nivel 5Satisfactorio

ComunicaciónExpresión escrita y oralTransmite sus ideas utilizando vocabulario matemático y con una variedad de representaciones (escrito, oral, visual, electrónico, etc.).

Qué observar:

Escribe a, b y c con su signo, el discriminante, la sustitución y las dos soluciones con la notación correcta (√, i, ±, fracciones).
Escribe las operaciones del discriminante paso a paso (b², 4ac y su resta), con los signos.
Explica con sus palabras cómo obtuvo a, b y c y por qué el denominador es 2a.

Escribe sólo un resultado suelto, sin Δ ni sustitución, o con la fórmula mal copiada (sin la raíz o sin el denominador). No usa ningún apoyo.

Usa la simbología con limitaciones: escribe Δ y las soluciones, pero omite el ±, la i o el 2a del denominador, o no simplifica la fracción cuando se puede. Contesta sin explicar.

Escribe con la simbología correcta a, b y c, el discriminante con sus operaciones, la sustitución y las dos soluciones, con alguna deficiencia (por ejemplo, un signo ambiguo). Explica con claridad cada paso.

Escribe y explica con notación correcta todo el procedimiento (a, b y c, Δ, sustitución, simplificación de la fracción cuando se puede, x₁ y x₂, con i si Δ < 0), por diferentes medios (con la fórmula, con el video y con palabras), y reconstruye el procedimiento en una ecuación nueva.

Representación algebraicaDistingue, decodifica, selecciona e intercambia entre diferentes representaciones de objetos matemáticos.

Qué observar:

Identifica a, b y c con su signo en ax² + bx + c = 0, también con a negativa.
Calcula Δ = b² − 4ac y la usa para decidir si las soluciones son enteras o fracciones, reales con raíz, una sola repetida o imaginarias.
Sustituye en x = (−b ± √Δ) ÷ 2a, simplifica la fracción cuando se puede y escribe x₁ y x₂.

Conoce la fórmula de memoria, pero confunde a, b y c o la sustituye mal (pierde el signo de −b, usa 2 en lugar de 2a).

Resuelve los casos sencillos (a positiva, b par, Δ positivo). Le fallan los signos, simplificar la fracción, o los casos con Δ negativo o Δ = 0.

Comprende y maneja las propiedades: identifica a, b y c en cualquier caso de signos, calcula bien Δ, sustituye con 2a, simplifica y escribe las dos soluciones (reales, repetida o con i), y usa Δ para saber qué clase de soluciones hay.

Explica que la fórmula resuelve cualquier ecuación cuadrática, relaciona Δ con el tipo de soluciones (cuadrado perfecto: enteras o fracciones y sí se factoriza; Δ = 0: trinomio cuadrado perfecto; Δ < 0: imaginarias) y generaliza el caso a = 1 al caso a distinta de 1.

ArgumentaciónPensamiento y razonamiento matemáticoSeguir y elaborar cadenas de argumentos.

Qué observar:

Explica por qué el denominador es 2a y por qué la fórmula siempre funciona (a diferencia de buscar pares de números).
Justifica, con Δ, qué clase de soluciones tiene la ecuación antes de terminar la cuenta.
Comprueba sus soluciones sustituyéndolas en la ecuación.

Dice «así se hace» o «porque la maestra lo pidió» sin justificar. No comprueba sus soluciones.

Defiende con una regla simple («Δ positivo: reales; Δ negativo: imaginarias») con lenguaje matemático básico.

Valida con ejemplos: resuelve varias ecuaciones y comprueba al menos una sustituyendo; da ejemplos de cada tipo de solución.

Explica la estructura del argumento: Δ decide el tipo de soluciones y la fórmula las calcula; comprueba sus resultados y explica por qué cambia el denominador cuando a no es 1.

Elabora una cadena de argumentos que generaliza: relaciona la fórmula con completar el cuadrado y con la factorización (x − x₁)(x − x₂), y justifica con Δ cuándo un trinomio ax² + bx + c se factoriza con números enteros.

Trinomios de la forma ax² + bx + c: la fórmula general