Conocimiento previo
Factorizar x² + bx + c es deshacer la multiplicación de dos binomios con un término común, (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab. Antes de empezar, repasa ese tema. Un caso especial de estos trinomios es el trinomio cuadrado perfecto, como x² + 6x + 9 = (x + 3)², que verás con más detalle al final de este tema.
¿Qué es un trinomio de la forma x² + bx + c?
Es un trinomio donde el coeficiente del término x² es 1 (pero casi nunca se escribe), el término con x tiene un número b y el último término es un número c. Por ejemplo:
Factorizar es escribirlo como un producto de dos binomios, (x + p)(x + q). Para saber cuáles son p y q, primero hay que ver de dónde sale el trinomio.
¿De dónde sale? Al multiplicar dos binomios
Multipliquemos (x + 3)(x + 4), término a término (si quieres practicar esta multiplicación, está en Binomio factor común):
El 7 es la suma de 3 y 4 (4x + 3x = 7x) y el 12 es su producto (3 · 4). Pasa siempre:
Al revés: cómo se factoriza x² + bx + c
Factorizar es volver atrás: dado x² + bx + c hay que encontrar dos números p y q tales que:
Y entonces el trinomio se factoriza como (x + p)(x + q).
Los pasos:
Los signos ayudan a buscar:
Ejemplos
Comprobación del último: (x + 2)(x − 7) = x² − 7x + 2x − 14 = x² − 5x − 14 ✓.
Casos especiales
Errores comunes: elegir un par que multiplicado da c pero que no suma b; olvidar el signo de uno de los números (en x² − 5x − 14 el 7 es negativo y el 2 es positivo, no al revés); y escribir (x + 3)(x + 4) como si fuera x² + 12 o x² + 7: hay que fijarse en las dos condiciones a la vez.
Recuerda: las leyes de los signos
Ejercicios: factoriza x² + bx + c
Algunos de estos trinomios no se pueden factorizar con números enteros. Para cada uno, busca dos números cuyo producto dé el tercer término (c) y cuya suma sea el coeficiente del segundo término (b). Después oprime Sí se factoriza o No se puede factorizar con números enteros.
Si no se puede, la página te explica por qué (y más abajo aprenderás a encontrar sus soluciones con la fórmula general). Sólo si sí se puede, aparece un cuadro para escribir la factorización como dos binomios, por ejemplo (x + 3)(x + 4); no importa el orden de los binomios. Debajo de cada cuadro hay botones para escribir los paréntesis, la letra y los signos. Cuando termines, oprime Comprobar (o la tecla Enter).
Te tocan 10 ejercicios al azar de un banco de 100. Oprime Otros 10 ejercicios para volver a intentar con ejercicios diferentes.
¿Y si no hay números enteros que sirvan? Entonces usamos la fórmula general
Buscar dos números p y q (con p · q = c y p + q = b) sólo encuentra números enteros, y no siempre existen. Mira x² + 4x + 1: los pares con producto 1 son 1 y 1 (suma 2) y −1 y −1 (suma −2); ninguno suma 4, así que no se puede factorizar con números enteros.
¿Quiere decir que la ecuación x² + 4x + 1 = 0 no tiene solución? No. Sí la tiene, pero no son números enteros: x = −2 + √3 ≈ −0.27 y x = −2 − √3 ≈ −3.73. Y hay trinomios, como x² + 4x + 5, cuyas soluciones ni siquiera son números reales (usan la i).
¿Por qué necesitamos una fórmula?
La fórmula general
Las soluciones de ax² + bx + c = 0 son
x = −b ± √b² − 4ac2a
Primero a = 1 (el coeficiente de x² es 1, pero casi nunca se escribe), así que queda x = −b ± √b² − 4c2.
Los pasos con la fórmula general
Video: cómo se usa la fórmula general
Errores comunes: olvidar el signo de −b (si b = −2, −b = 2); calcular (−2)² como −4 (es 4); restar en lugar de sumar cuando c es negativo (−4 · 1 · (−7) = +28); dividir entre 2 sólo un término del numerador (en −4 ± 2i2 se dividen el 4 y el 2i); olvidar el ± (son dos soluciones); y, cuando Δ es negativo, olvidar la i.
Ejercicios: resuelve con la fórmula general
Estos trinomios no se pueden factorizar con números enteros (Δ no es un cuadrado perfecto). Resuelve cada ecuación x² + bx + c = 0 con la fórmula general (haz el cálculo de Δ en tu cuaderno) y escribe las dos soluciones, en cualquier orden. No hace falta simplificar la raíz: √12 se puede dejar así. Si Δ es negativo, usa la i.
Escribe la raíz con el botón √ (por ejemplo (−4 + √12)/2) y las fracciones con / (por ejemplo (−3 + √5)/2); con i: −2 + i. Debajo de las casillas hay botones para escribir la raíz, la i, los paréntesis y los signos. Oprime Comprobar (o la tecla Enter).
Te tocan 10 ejercicios al azar de un banco de 100. Oprime Otros 10 ejercicios para volver a intentar con ejercicios diferentes.
¿Y si a no es 1?
La fórmula general también sirve cuando el coeficiente de x² no es 1, como en 2x² − 4x − 1 = 0 o 3x² + 2x + 1 = 0. Eso se ve en el tema del trinomio de la forma ax² + bx + c.
Rúbrica · Factorizar x² + bx + c y fórmula general
| Criterio | Nivel 1Insuficiente | Nivel 2En desarrollo | Nivel 3En desarrollo · mínimo indispensable | Nivel 4Suficiente | Nivel 5Satisfactorio |
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| ComunicaciónExpresión escrita y oralTransmite sus ideas utilizando vocabulario matemático y con una variedad de representaciones (escrito, oral, visual, electrónico, etc.). Qué observar:
|
Escribe los binomios sin paréntesis o sin signo, o un solo binomio, y sus respuestas no se entienden. No usa ningún apoyo, como la lista de pares de números. Con la fórmula general sólo escribe un resultado suelto, sin Δ ni sustitución. | Usa la simbología con limitaciones: escribe los dos binomios, pero a veces omite un signo o un paréntesis. Contesta sin explicar o sólo dice «busqué dos números». Con la fórmula general escribe Δ y las soluciones, pero omite el ± o la i. | Escribe con la simbología correcta los pares de números, la suma, el producto y los dos binomios, con alguna deficiencia (por ejemplo, un signo ambiguo en la lista). Explica con claridad qué hizo en cada paso. Con la fórmula general escribe Δ, la sustitución y las dos soluciones con √, i y fracciones, con alguna deficiencia. | Escribe y explica con notación correcta el procedimiento completo (b y c, pares, suma, producto, factorización y comprobación), por diferentes medios (con la regla, con la figura del rectángulo y con palabras), y reconstruye el procedimiento en un trinomio nuevo. Con la fórmula general presenta todo el procedimiento con notación correcta y lo explica con sus palabras, y escribe la factorización con las soluciones: (x − x₁)(x − x₂). | |
| Representación geométricaDistingue, decodifica, selecciona e intercambia entre diferentes representaciones de objetos matemáticos. Qué observar:
|
Ve el trinomio como una suma de términos y no reconoce el rectángulo ni lo relaciona con los números p y q. | Reconoce la figura del ejemplo (x + 3)(x + 4), pero no la generaliza a otros valores ni a números negativos. | Interpreta la figura: x², los dos rectángulos px y qx que suman bx, y el área pq; relaciona cada parte con un término del trinomio. | Dibuja el rectángulo para un trinomio nuevo y lo usa para justificar que p + q = b y p · q = c. | |
| Representación algebraicaDistingue, decodifica, selecciona e intercambia entre diferentes representaciones de objetos matemáticos. Qué observar:
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Conoce la regla de memoria («dos números que...») pero confunde b con c, o busca números que sólo cumplen una de las dos condiciones. Conoce la fórmula general de memoria, pero la sustituye mal (confunde b con c o pierde el signo de −b). | Factoriza los casos sencillos (b y c positivos). Le fallan los casos con signos negativos, c negativo o números grandes, o no distingue cuándo no se puede factorizar. Con la fórmula general resuelve los casos sencillos (b par, Δ positivo); le fallan los signos o los casos con Δ negativo. | Comprende y maneja las propiedades: encuentra los dos números con producto c y suma b en cualquier caso de signos, factoriza, comprueba multiplicando y reconoce un trinomio que no se factoriza con enteros. Con la fórmula general calcula bien Δ, sustituye y escribe las dos soluciones, reales o con i, y usa Δ para saber qué clase de soluciones hay. | Explica que (x + p)(x + q) = x² + (p + q)x + pq, y por eso factorizar es buscar p y q; generaliza los signos, relaciona el caso p = q con el TCP y p = −q con la diferencia de cuadrados, y usa el desarrollo y la factorización como procesos inversos. Relaciona la fórmula general con completar el cuadrado y el discriminante con el tipo de soluciones (Δ cuadrado perfecto: sí se factoriza con enteros; Δ = 0: TCP; Δ < 0: soluciones imaginarias). | |
| ArgumentaciónPensamiento y razonamiento matemáticoSeguir y elaborar cadenas de argumentos. Qué observar:
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Dice «así se hace» o «se buscan dos números» sin justificar. Factoriza pero no comprueba su resultado. Dice que usa la fórmula «porque la maestra lo pidió», sin explicar para qué sirve. | Defiende con una regla simple («producto c, suma b») con lenguaje matemático básico. Dice que la fórmula sirve «cuando no se puede factorizar». | Valida con ejemplos: factoriza varios trinomios y comprueba cada uno multiplicando; da ejemplos y no-ejemplos de trinomios que sí y que no se factorizan. Con la fórmula general verifica con un ejemplo que da lo mismo que los pares (x² + 7x + 12). | Explica la estructura del argumento: que p · q = c y p + q = b son las condiciones y que (x + p)(x + q) es la conclusión; comprueba sus resultados y, cuando dice que no se factoriza, muestra que revisó todos los pares. Explica que la fórmula siempre funciona, y que si Δ es cuadrado perfecto las soluciones son enteras y el trinomio sí se factoriza con enteros. | Elabora una cadena de argumentos que generaliza: demuestra con la multiplicación de binomios por qué factorizar x² + bx + c es buscar p y q con p + q = b y p · q = c, y relaciona los signos, el TCP y la diferencia de cuadrados con la regla. Deduce la fórmula general completando el cuadrado y justifica con el discriminante cuándo hay soluciones enteras, reales con raíz o imaginarias. |
Nivel 0 · No hay elementos: no existen evidencias suficientes para evaluar (no se presentó o asistió a menos del 20% del curso).
Sigue en este subtema
Ahora veamos con detalle cómo se completa un trinomio cuadrado perfecto, la idea de la que sale la fórmula general.