Conocimiento previo
Completar un trinomio cuadrado perfecto usa lo que ya viste: el binomio al cuadrado (a ± b)² = a² ± 2ab + b² y cómo se factoriza un TCP. Si ya se te olvidó, repásalo antes de empezar.
¿Qué significa «completar»?
Mira el trinomio x² + 6x + ___. Le falta el último término. Si ese término es el correcto, el trinomio será un trinomio cuadrado perfecto (TCP): un binomio al cuadrado. Como (x + 3)² = x² + 6x + 9, el término que falta es 9.
Se le llama completar el cuadrado porque se puede ver como un cuadrado al que le falta una esquina: x² y dos rectángulos de 3 · x forman casi un cuadrado de lado x + 3, y la esquina que falta es un cuadradito de 3 · 3 = 9.
Cómo se completa un TCP: x² + bx + ___
En x² + bx + ___, el número b es el que acompaña a la x, con su signo. Para saber qué término falta:
Esto es lo mismo que la regla del TCP al revés: el término de en medio es el doble producto 2ab con a = x, así que b = 2 · (el número del binomio). Por eso el número del binomio es la mitad de b, y el último término es ese número al cuadrado.
Ejemplos
Errores comunes: usar b² en lugar de (b ÷ 2)² (x² + 6x + 36 no es un TCP); sumar b ÷ 2 sin elevarlo al cuadrado; y poner el signo de b en el último término (siempre es positivo: el signo de b va en el binomio).
¿Para qué sirve?
Completar el cuadrado permite resolver ecuaciones que no se factorizan a simple vista. Por ejemplo, en x² + 6x = 7 sumamos 9 en los dos lados (el término que completa el TCP) y queda:
También es la idea que da la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado y el vértice de una parábola.
Ejercicios: completa el TCP (falta el último término)
A cada trinomio x² + bx + ___ le falta el último término. Contesta los tres pasos y oprime Comprobar (o la tecla Enter):
1. ¿Cuánto vale b ÷ 2? (b es el número que acompaña a la letra, con su signo)
2. ¿Qué término falta? Es (b ÷ 2)² y siempre es positivo.
3. Factoriza el trinomio completo: escribe el binomio al cuadrado, por ejemplo (x + 3)^2.
Los números pueden ser enteros, fracciones (por ejemplo 5/2) o decimales. Debajo de cada casilla hay botones para escribir la letra, los paréntesis, el ², el signo menos y la fracción; también puedes usar ^2 con el teclado.
Te tocan 10 ejercicios al azar de un banco de 100. Cuando termines, oprime Otros 10 ejercicios para volver a intentar con ejercicios diferentes.
Ejercicios: completa el TCP (falta el término de en medio)
Ahora el que falta es el término de en medio, por ejemplo x² + ___ + 49 o x² − ___ + 49. Contesta los tres pasos y oprime Comprobar:
1. ¿Cuánto vale la raíz cuadrada del último término?
2. ¿Qué término de en medio falta? Es el doble producto 2 · x · (la raíz).
Si antes del espacio está el signo +, hay dos respuestas posibles: escribe una, por ejemplo 14x o −14x.
Si ya está escrito el signo − (x² − ___ + 49), escribe sólo el número con la letra: 14x, y el trinomio queda x² − 14x + 49.
3. Factoriza el trinomio que formaste: (x + 7)^2 si el término de en medio quedó +14x, o (x − 7)^2 si quedó −14x.
Te tocan 10 ejercicios al azar de un banco de 50. Oprime Otros 10 ejercicios para volver a intentar con ejercicios diferentes.
Rúbrica · Completar el trinomio cuadrado perfecto
| Criterio | Nivel 1Insuficiente | Nivel 2En desarrollo | Nivel 3En desarrollo · mínimo indispensable | Nivel 4Suficiente | Nivel 5Satisfactorio |
|---|---|---|---|---|---|
| ComunicaciónExpresión escrita y oralTransmite sus ideas utilizando vocabulario matemático y con una variedad de representaciones (escrito, oral, visual, electrónico, etc.). Qué observar:
|
Escribe el término que falta sin relación con b, deja la factorización sin paréntesis o sin el exponente 2, y sus respuestas no se entienden. No usa ningún apoyo, como los pasos b, b ÷ 2 y (b ÷ 2)². | Usa la simbología con limitaciones: escribe los resultados, pero no siempre en la forma correcta (omite el signo de b ÷ 2, un paréntesis o el exponente 2). Contesta sin explicar o sólo repite los pasos. | Escribe con la simbología correcta b ÷ 2, el término que falta y el binomio al cuadrado, con alguna deficiencia (por ejemplo, una fracción sin simplificar). Explica con claridad qué hizo en cada paso. | Escribe y explica con notación correcta el procedimiento completo (b, b ÷ 2, (b ÷ 2)², factorización), por diferentes medios (con la fórmula, con la figura y con palabras), y reconstruye el procedimiento en un ejercicio nuevo. | |
| Representación geométricaDistingue, decodifica, selecciona e intercambia entre diferentes representaciones de objetos matemáticos. Qué observar:
|
Ve x² + bx como una suma de términos y no reconoce la figura del cuadrado con una esquina faltante, ni la relaciona con el término que falta. | Reconoce la figura del cuadrado de lado x + 3 en el ejemplo, pero no la generaliza a otros valores de b ni a fracciones. | Interpreta la figura: x² y los dos rectángulos de lados x y b ÷ 2, y la esquina que falta como un cuadrado de lado b ÷ 2, también cuando b es impar o fraccionario. | Dibuja la figura para un b nuevo y la usa para justificar que el término que falta es (b ÷ 2)² y que el trinomio completo es el cuadrado de lado x + b ÷ 2. | |
| Representación algebraicaDistingue, decodifica, selecciona e intercambia entre diferentes representaciones de objetos matemáticos. Qué observar:
|
Conoce la regla sólo de memoria: escribe b² o b ÷ 2 como término que falta, o no distingue el término de en medio del último. No factoriza el trinomio completo. | Completa el trinomio en los casos sencillos (b par y positivo). Le fallan los casos con b negativo, b impar, fracciones o decimales, el signo del binomio o el 2 del doble producto. | Comprende y maneja las propiedades: obtiene (b ÷ 2)² con cualquier b (también con fracciones y decimales), halla el término de en medio con el doble producto, y factoriza con el signo correcto. | Explica por qué el término que falta es (b ÷ 2)² a partir de (x + b ÷ 2)² = x² + bx + (b ÷ 2)², usa el desarrollo y la factorización como procesos inversos y generaliza para cualquier b. | |
| ArgumentaciónPensamiento y razonamiento matemáticoSeguir y elaborar cadenas de argumentos. Qué observar:
|
Dice «así es la regla» o «se divide entre 2» sin justificar. Completa el trinomio pero no lo comprueba ni lo explica. | Defiende con una regla simple («la mitad de b, al cuadrado») con lenguaje matemático básico. | Valida con ejemplos: completa varios trinomios y comprueba cada uno desarrollando el binomio; da ejemplos y no-ejemplos de trinomios que sí y que no son cuadrados perfectos. | Explica la estructura del argumento: que el término de en medio sea 2ab es la hipótesis y que el último término sea (b ÷ 2)² es la conclusión; comprueba sus resultados desarrollando el binomio. | Elabora una cadena de argumentos que generaliza para cualquier b: demuestra con (x + b ÷ 2)² = x² + bx + (b ÷ 2)² por qué completar el cuadrado funciona, y lo relaciona con la figura y con la resolución de ecuaciones como x² + 6x = 7. |
Nivel 0 · No hay elementos: no existen evidencias suficientes para evaluar (no se presentó o asistió a menos del 20% del curso).
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Completar el cuadrado es la idea que da la fórmula general, con la que se resuelven los trinomios x² + bx + c que no se factorizan con números enteros.