Conocimiento previo
Multiplicar binomios usa la propiedad distributiva (cada término del primero por cada término del segundo). El binomio al cuadrado, (x + 3)² = (x + 3)(x + 3), es el caso en que los dos binomios son iguales. Si ya se te olvidó, repásalo antes de empezar.
¿Qué es?
Son dos binomios que comparten un término, la letra x, y se distinguen por el número que se le suma o resta:
En general, (x + a)(x + b), donde a y b son números con su signo. El resultado es siempre un trinomio de la forma x² + bx + c, el mismo que después aprenderemos a factorizar.
La regla: no hace falta multiplicar término a término
Multipliquemos (x + 3)(x + 4) término a término:
El 7 es la suma de 3 y 4 (4x + 3x = 7x) y el 12 es su producto (3 · 4). Esto pasa siempre, así que no hace falta multiplicar término a término: basta con aplicar esta regla.
Ejemplos
Casos especiales: si los dos números son iguales, es un binomio al cuadrado: (x + 3)(x + 3) = x² + 6x + 9 = (x + 3)². Si son opuestos, la suma es 0 y desaparece el término con x: (x + 5)(x − 5) = x² − 25 (binomios conjugados).
Errores comunes: escribir (x + 3)(x + 4) = x² + 12 (falta el término con x); sumar mal los signos (en (x − 2)(x − 5) la suma es −7, no 7); o poner un producto positivo cuando los números tienen signos diferentes.
¿Para qué sirve?
Esta multiplicación se puede hacer al revés: si tenemos x² + 7x + 12, buscamos dos números cuya suma sea 7 y cuyo producto sea 12 (3 y 4) y lo escribimos como (x + 3)(x + 4). Eso es factorizar un trinomio de la forma x² + bx + c, que veremos más adelante en esta sección.
Recuerda: las leyes de los signos
Ejercicios: multiplica (x + a)(x + b)
Multiplica los dos binomios con la regla (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + a · b y escribe el resultado sin paréntesis, con los términos ya reducidos. Después oprime Comprobar (o la tecla Enter).
Para el exponente usa el signo ^ (por ejemplo x^2) o el botón ². No importa el orden de los términos. Si falla, la página te dice si el problema está en el término de en medio (la suma), en el último término (el producto) o en los signos.
Te tocan 10 ejercicios al azar de un banco de 100. Cuando termines, oprime Otros 10 ejercicios para volver a intentar con ejercicios diferentes.
Conocimiento previo
En los siguientes ejercicios los números son fracciones: hay que sumarlas y multiplicarlas. ¿Ya se te olvidó cómo se hace? Lo viste en Matemáticas 2.
Con exponentes y con fracciones
La regla es la misma. Sólo cambian dos cosas:
Ejercicios: con exponentes y fracciones
Multiplica los binomios y escribe el resultado sin paréntesis, con los términos reducidos y las fracciones simplificadas. Las fracciones se escriben con / (por ejemplo 5/6x^2) y los exponentes con ^ o con los botones ², ³… No importa el orden de los términos.
Te tocan 10 ejercicios al azar de un banco de 100. Oprime Otros 10 ejercicios para volver a intentar con ejercicios diferentes.
Rúbrica · Binomio factor común (x + a)(x + b)
| Criterio | Nivel 1Insuficiente | Nivel 2En desarrollo | Nivel 3En desarrollo · mínimo indispensable | Nivel 4Suficiente | Nivel 5Satisfactorio |
|---|---|---|---|---|---|
| ComunicaciónExpresión escrita y oralTransmite sus ideas utilizando vocabulario matemático y con una variedad de representaciones (escrito, oral, visual, electrónico, etc.). Qué observar:
|
Escribe el resultado sin el exponente, sin signos o sin el término de en medio, y sus respuestas no se entienden. No usa ningún apoyo, como escribir la suma y el producto de los números. | Usa la simbología con limitaciones: escribe el trinomio, pero a veces omite un signo, un paréntesis o el exponente 2. Contesta sin explicar o sólo repite la regla. | Escribe con la simbología correcta la suma, el producto y el trinomio reducido, con alguna deficiencia (por ejemplo, un signo ambiguo). Explica con claridad qué hizo en cada paso. | Escribe y explica con notación correcta el procedimiento completo (x², suma, producto y resultado reducido), por diferentes medios (con la regla y con palabras), y reconstruye el procedimiento en un ejercicio nuevo. | |
| Representación algebraicaDistingue, decodifica, selecciona e intercambia entre diferentes representaciones de objetos matemáticos. Qué observar:
|
Conoce el producto de binomios sólo de memoria: escribe x² + ab o x² + (a + b), o multiplica sólo los números. Confunde la suma con el producto. | Aplica la regla en los casos sencillos (los dos números positivos). Le fallan los casos con números negativos, con signos diferentes o con números opuestos, y los signos de la suma y del producto. | Comprende y maneja las propiedades: aplica la regla en cualquier caso de signos, reduce términos semejantes y reconoce los casos especiales (p = q y p = −q). | Explica que (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab, por qué sale la suma y por qué sale el producto, y generaliza los signos y los casos especiales; usa el producto como paso previo para factorizar x² + bx + c. | |
| ArgumentaciónPensamiento y razonamiento matemáticoSeguir y elaborar cadenas de argumentos. Qué observar:
|
Dice «así es la regla» sin justificar. Hace la multiplicación pero no la comprueba ni la explica. | Defiende con una regla simple («suma los números y multiplícalos») con lenguaje matemático básico. | Valida con ejemplos: multiplica varios pares de binomios por la regla y por término a término, y compara los resultados; da ejemplos y no-ejemplos (como x² + 12). | Explica la estructura del argumento: que los binomios compartan el término x es la hipótesis y que el resultado sea x² + (a + b)x + ab es la conclusión; comprueba sus resultados multiplicando término a término. | Elabora una cadena de argumentos que generaliza: demuestra con la propiedad distributiva por qué (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab para cualquier a y b, y la relaciona con los casos especiales y con factorizar x² + bx + c. |
Nivel 0 · No hay elementos: no existen evidencias suficientes para evaluar (no se presentó o asistió a menos del 20% del curso).
Sigue en este subtema
Ahora veamos cómo se factoriza al revés un trinomio x² + bx + c, y después cómo se completa un trinomio cuadrado perfecto.